Punto con muchas densidades de Lebesgue prescritas

Question

Dejemos que $E\subset\mathbb{R}$ sea un conjunto medible y consideremos la función $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ definido por $$f(x)=\frac{m(E\cap [-x,x])}{2x},$$

donde $m$ denota la medida de Lebesgue. Supongamos que $F\subset [0,1]$ . ¿Existe alguna caracterización para los conjuntos, que satisfaga $$f(0)=F,$$

donde por $f(0)$ Me refiero al conjunto de todos los $y\in \mathbb{R}$ tal que, existe una secuencia $a_n\to 0$ con $\lim_n f(a_n)=y$ .

Answer 1

La función $f$ es continua para $x>0$ . Por lo tanto, su conjunto de clústeres como $x\to 0^+$ es un intervalo cerrado, a saber $[\alpha,\beta]$ donde $\alpha=\liminf_{x\to 0^+}f(x)$ y $\beta= \limsup_{x\to 0^+}f(x)$ . De hecho, hay secuencias $a_n\to 0$ y $b_n\to 0$ tal que $f(a_n)\to\alpha$ y $f(b_n)\to \beta$ . Elige un número $\gamma\in (\alpha,\beta)$ . Por el teorema del valor intermedio, $f$ alcanza el valor $\gamma$ en algún lugar entre $a_n$ y $b_n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Por lo tanto, $\gamma$ también está en el conjunto de clústeres, como se afirma.

Así, la caracterización de tales conjuntos $F$ es: "subintervalos cerrados de $[0,1]$ ". Cada subintervalo cerrado $[\alpha,\beta]\subset [0,1]$ se realiza mediante un conjunto de la forma $$E=\bigcup_n \{x: u_n\le |x|\le v_n\}$$ donde los números $u_n$ , $v_n$ se eligen de manera que $$\frac{1}{u_n}\sum_{k>n}(v_k-u_k)\to \alpha,\qquad \frac{1}{v_n}\sum_{k\ge n}(v_k-u_k)\to \beta$$