¿Componentes fuertemente conectados como functor adjunto?

Question

Fijar un functor fiel $\Gamma: \mathsf C\longrightarrow \mathsf{Set}$ y pensar en ello como los "puntos subyacentes". Cuando existe, un adjunto izquierdo $\mathrm{disc}\dashv \Gamma$ puede considerarse como el functor de "objetos discretos". Cuando existe, otro adjunto a la izquierda $\pi_0\dashv \mathrm{disc}\dashv \Gamma$ pueden considerarse como "componentes conectados".

Para $\mathsf C$ la categoría de grafos y morfismos de grafos, $\pi_0$ lleva un gráfico al conjunto de sus componentes conectados, donde los vértices se encuentran en el mismo componente si están conectados por un camino.

Para $\mathsf C$ la categoría de grafos dirigidos, la misma afirmación es válida.

Pregunta. ¿Cómo modificar la adjunción anterior para obtener un functor de "componentes fuertemente conectados"? Los vértices de un grafo dirigido están fuertemente conectados si hay un camino entre ellos en cada dirección.

Answer 1

La existencia de tal triple adjunto en particular requiere que el functor de componentes fuertemente conectados sea un adjunto izquierdo. Pero en realidad este hecho no es un adjunto a la izquierda, ya que no preserva los colímites.

Para ver esto, consideremos el tramo formado por el grafo discreto en dos vértices, incluido en los dos grafos de dos vértices que tienen una arista cada uno (en direcciones opuestas). Su expulsión es el grafo de dos vértices con una arista en cada dirección, que está fuertemente conectado. A nivel de componentes fuertemente conectados, se obtiene el tramo de identidad entre conjuntos de dos elementos, por lo que su pushout sigue teniendo dos elementos. Por lo tanto, el pushout no se conserva.

Conclusión: No hay un triple adjunto con el functor de componentes fuertemente conectados a la izquierda.

Hay cierta ambigüedad sobre qué categoría de grafos dirigidos tiene realmente en mente, pero el argumento anterior funciona en todos los candidatos obvios. Si no funciona en el tuyo, entonces deberías ser más explícito sobre cuál es tu categoría.