Especial subconjunto de un espacio Euclídeo

Question

Este es un bonito problema que he encontrado en alguna parte y pensamiento para compartir con todos!

¿Existe un subconjunto $S \subset \mathbb{R}^n$ s.t. para todos los no-cero $t \in \mathbb{R}^n\;, \; S \cap (S+t)$ tiene precisamente uno de los elementos?

Answer 1

Edit: La versión original de este asume la Hipótesis continua. No tengo idea de por qué, pensaba que era necesario: el mismo argumento funciona perfectamente sin ella. He hecho los necesarios ajustes menores a continuación.

Un conjunto puede ser construido (si suponemos el axioma de elección, pero me tomo por sentado). Nota de que la condición en $S$ es equivalente a la propiedad $(\ast)$: para cada distinto de cero $t \in \mathbb{R}^n$ hay un único par de puntos de $x_t,y_t \in S$ tal que $y_t = x_t + t$: $y_t$ es el único punto en común de $S$$S+t$. Voy a construir $S$ tener un equivalente de esta propiedad.

Deje $P$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ que contiene exactamente un miembro de cada par $\{t,-t\}$$t \ne 0$. Para $A \subseteq \mathbb{R}^n$ deje $D(A) = P \cap (A-A)$; el $\pm t$ $t \in D(A)$ son las traducciones ya realizadas entre los puntos de $A$. Vamos $A^* = A \cup (A+D(A)) \cup (A-D(A))$; $A^*$ es $A$ junto con el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^n$ que puede llegar desde $A$ por las traducciones ya realizadas en $A$. Tenga en cuenta que $A^*$ es contable, siempre que $A$ es. (De hecho, $A \subseteq (A+D(A)) \cup (A-D(A))$ si $A$ tiene al menos dos puntos).

Podemos enumerar $P$$\{t_\xi:\xi < 2^\omega\}$. Supongamos que $\eta < 2^\omega$, y para cada una de las $\xi < \eta$ hemos construido un conjunto $S_\xi \subseteq \mathbb{R}^n$ tal forma que:

$\qquad(a)_\xi$ $\vert S_\xi \vert < 2^\omega$;

$\qquad(b)_\xi$ $S_\xi \subseteq S_\zeta$ siempre que $\xi < \zeta < \eta$; y

$\qquad(c)_\xi$ $t_\xi \in D(S_\xi)$.

Deje $T_\eta = \bigcup\limits_{\xi<\eta} S_\xi$. Si $t_\eta \in D(T_\eta)$, vamos a $S_\eta = T_\eta$. De lo contrario, $\vert T_\eta \vert < 2^\omega$, lo $\vert T_\eta^* \vert < 2^\omega$, y podemos elegir el $s_\eta,s_\eta' \in \mathbb{R}^n \setminus T_\eta^*$ tal que $s_\eta' = s_\eta + t_\eta$$\frac12(s_\eta+s_\eta') \notin \{\frac12(x+y):x,y \in T_\eta\}$. Deje $S_\eta = T_\eta \cup \{s_\eta,s_\eta'\}$; claramente $(a)_\eta - (c)_\eta$ están satisfechos, y la construcción pasa a través de a $2^\omega$.

Ahora vamos a $S = \bigcup\limits_{\xi< 2^\omega} S_\xi$; claramente $D(S) = P$. Supongamos que para algunos $\eta < 2^\omega$ hay de distintos pares de $x,x'$ $y,y'$ $S$ tal que $x'=x+t_\eta$$y'=y+t_\eta$. Ninguna pareja se agrega en la etapa de $\eta$ si $t_\eta$ ya es realizada en $T_\eta$, y cada punto añadido después de la etapa de $\eta$ evita $S_\eta \pm t_\eta$, lo $x,x',y,y' \in T_\eta$. Deje $\xi < \eta$ ser mínima tal que $x,x',y,y' \in S_\xi$. Entonces al menos uno de $x,x',y,y'$ debe pertenecer a $\{s_\xi,s_\xi'\}$, y desde $\{s_\xi,s_\xi'\} \cap D(T_\xi) = \varnothing$, $\{s_\xi,s_\xi'\}$ debe contener un punto de cada par $\{x,x'\}$$\{y,y'\}$.

Si $s_\xi = x$$s_\xi' = y$,$y'-x' = (y+t_\eta)-(x+t_\eta) = y-x = t_\xi$. Pero en este caso $x',y' \in T_\xi$, lo $t_\xi \in D(T_\xi)$, y nada habría sido agregado en la etapa de $\xi$. El caso de $s_\xi = x', s_\xi' = y'$ es obviamente similares.

Si $s_\xi = x$$s_\xi' = y'$,$\frac12(s_\xi+s_\xi') = \frac12(x+y') = \frac12((x'-t_\eta) + (y + t_\eta)) = \frac12(x'+y)$; pero en este caso $x',y \in T_\xi$, lo $s_\xi$ $x_\xi'$ fueron elegidos de tal manera que $\frac12(s_\xi+s_\xi') \ne \frac12(x'+y)$. El caso de $s_\xi = x', s_\xi' = y$ es obviamente similares.

De ello se desprende que $S$ satisface $(\ast)$.

Answer 2

Si escribo formalmente su problema, se indica que, para cualquier $t\neq 0$ existe un único $s\in S$ tal que $s+t\in S$. Nos deja denotar tal $s$ a través de $f(t)$, lo $t\mapsto f(t)$ está definida de forma única para cualquier $t\neq 0$.

Deje $t',t''\neq 0$ ser tal que $t'+t''\neq 0$. Lo que tenemos que hacer: $$ f(t')+t'\in S $$ $$ f(t")+t"\S $$ así $$ f(t')+f(t")+(t'+t")\in S $$ por lo tanto $$ f(t')+f(t") = f(t'+t") $$ para todos los $t',t''\neq 0,t'+t''\neq 0$. Ahora usted puede ver que $f(\mathbb R^n\setminus \{0\})\subseteq S$ para algunos aditivo función de $f:\mathbb R^n\setminus\{0\}\to\mathbb R^n$.

Pero ahora, vamos a recoger $t^*:f(t^*)\neq 0$. A continuación,$f(t)+f(t^*) = f(t+t^*)\in S$$f(t-t^*)+f(t^*) = f(t)\in S$, lo que viola la unicidad.