Partes positivas y negativas

Question

Denotamos por $u^+=\max(u,0)$ y $u^-=\max(-u,0)$ las partes positivas y negativas de $u$

tenemos que $u=u^+-u^-$ mi pregunta es: ¿qué es $u'$ utilizando $u^+$ y $u^-$ ?

y lo que es $\int_{\Omega} p(t) u'^2(t) dt$ utilizando $u^+$ y $u^-$ ?

Por favor,

Gracias.

Answer 1

Tengo eso $u^{\pm}=\frac12 (|u|\pm u)$ por definición ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Positive_and_negative_parts

así que cuando $u>0$ entonces $|u|=u$

$(u^+)'=\frac12(|u|'+ u')= \frac12( u'+ u')= u'$

cuando $u<0$ entonces $|u|=-u$ entonces $(u^-)'=\frac12(|u|'- u')= \frac12(-u' - u')= - u'$

y $u^+\times u^-=\frac14(|u|+u)\times(|u|-u)=\frac14(|u|^2+u|u|-u|u|-u^2)=\frac14(|u|^2-u^2)=0$

Así que $\int_{\Omega}p(t) u'^2(t) dt=\int_{\Omega}p(t) (u^{+'}(t))^2dt+\int_{\Omega}p(t)(u^{-'}(t))^2dt$