Supongamos que estamos en una situación magnetostática y electrostática. En la expansión multipolar del potencial vectorial magnético, terminamos con
$\vec{A}(\vec{r})=\sum_{n=0}^\infty \vec{A}_n(\vec{r})$ donde $\vec{A}_n(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi r^{n+1}}\int_\text{space}(r')^nP_n(\hat{r}\cdot\hat{r'})\vec{J}(\vec{r}')\text{d}\tau'$
El término monopolar es entonces cuando $n=0$ es decir
$\vec{A}_0(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi r}\int_\text{space} \vec{J}(\vec{r}')\text{d}\tau'$
Cuando la distribución de corriente es simplemente un bucle de corriente constante, la integral anterior puede tener un $I$ se ha eliminado dejando sólo una integral de bucle que llega a cero. Esto demuestra que no hay ningún término monopolar. Sin embargo, ¿cómo podemos demostrar en general que el término monopolar desaparece (o no es cierto?), es decir, cómo podemos demostrar
$\int_\text{space} \vec{J}(\vec{r}')\text{d}\tau'=0$
asumiendo la situación estática que se define por las relaciones $-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\nabla\cdot\vec{J}=0$ y $\frac{\partial \vec{J}}{\partial t}=0$ . También sabemos que estamos trabajando con la galga de Coulomb por lo que $\nabla\cdot\vec{A}=0$ .
Estaba pensando que tal vez esto no es en general cierto, es decir, el término monopolar no desaparece en general incluso para la situación estática. Posiblemente hay que suponer que la distribución de la corriente es local, es decir, no se extiende hasta el infinito, o tal vez sólo funciona en los bucles, etc. Si tienes alguna idea, házmelo saber. Gracias de antemano.
