¿Chocan estas bolas?

Question

Supongamos que dos bolas $B_1,B_2$ de radio $r$ moverse continuamente dentro de un cuadrado de tamaño $d$ . Rebotan en las paredes, es decir, el $x$ -El componente de la velocidad se multiplica por $-1$ cuando se golpea la pared izquierda/derecha, y de forma similar para el $y$ -componente. Aparte de eso, la velocidad no se cambia. Para qué posiciones centrales de partida $p_1,p_2$ y qué vectores de velocidad inicial $v_1,v_2$ de las bolas ¿habrá una colisión después de algún tiempo? Supongo que "normalmente" es así, es decir, que el espacio de todas $(p_1,p_2,v_1,v_2)$ sin colisión tiene medida cero. No me extrañaría que esta fuera una pregunta conocida con una respuesta conocida, pero tengo literalmente cero conocimientos sobre esta área de las matemáticas. Tampoco estoy seguro de las etiquetas.

Answer 1

Supongamos que una bola es roja y la otra azul.
Los centros de las bolas se desplazan dentro de un cuadrado de lado $A=d-2r$ .
Refleja este cuadrado más pequeño a lo largo de su lado una y otra vez hasta teselar el plano. Siempre hay dos bolas en cada cuadrado. Las bolas rojas caen en cuatro grupos con velocidad $(\pm v_{1x},\pm v_{1y})$ . Imagina que estos grupos se atraviesan en el límite, pero no cambian de dirección. El patrón es periódico mod $2A$ tanto en el $x$ y $y$ direcciones, y las bolas ya no se reflejan en el límite. Piensa en cuatro bolas rojas y cuatro azules en un toroide de lado $2A$ .
Coge una bola roja y otra azul. Su posición es $p_{i}+tv_{i}\pmod{2A}$ Chocarán si $p_1-p_2+t(v_1-v_2)$ se mete dentro de $2r$ de un punto de la cuadrícula $(2mA,2nA)$
Hay algunas posiciones y velocidades iniciales en las que esa trayectoria en línea recta se aleja de los puntos de la cuadrícula, pero en su mayoría colisionarán.