¿Cómo puedo concluir $R=1$ ?

Question

$a_n$ sea una secuencia de números complejos tal que $\sum |a_n| <\infty$ , $\sum n|a_n|=\infty$ Entonces necesito encontrar el radio de convergencia de $\sum a_nz^n$

$\lim |a_n|=0$ de la primera condición para que $0<|a_n|<\epsilon$ así que $0^{1\over n}<|a_n|^{1\over n}<\epsilon^{1\over n}$

Ahora $R={1\over \limsup|a_n|^{1\over n}}$

¿Cómo puedo concluir $R=1$ ?

Answer 1

Usted sabe de $\sum|a_n|<\infty$ que la serie converge para $z=1$ para que $R\ge1$ . Ahora dejemos que $r>1$ . Entonces $r^n\ge n$ para $n$ lo suficientemente grande. Como $\sum n|a_n|=\infty$ , $\sum |a_n|r^n=\infty$ . La serie de potencias diverge para todo $z$ con $|z|=r$ para que $R\le r$ . Desde $r$ cam ser tomada tan cerca de $1$ como queremos, se deduce que $R\le1$ .