Problema relacionado con la ecuación cuadrática

Question

Si $x$ es un número real entonces cuál es el mayor valor de $$ f(x)=2(a-x)\left(x+\sqrt{x^2+b^2}\right)\;\;? $$ No puedo averiguar cómo convertir esto en una ecuación cuadrática para averiguar el mayor valor de $f(x).$

Por lo que he leído, la respuesta viene dada por $a^2+b^2$ .

Answer 1

Dejemos que $M$ sea el mayor valor de $f$ . Entonces la ecuación $f(x)=M$ tiene exactamente una solución en $x$ . Esta ecuación es equivalente a:

$$ M-2x(a-x)= 2(a-x)\sqrt{x^2+b^2}$$ después de elevar al cuadrado y reordenar y cancelar obtenemos:

$$ M^2-2M(ax-x^2)= 4(a-x)^2b^2$$

Si $M\ne 2b^2$ entonces se trata de una ecuación cuadrática en $x$ tiene un discriminante $0$ así que...

Answer 2

Si sabes algo de cálculo, probablemente lo más fácil sea expandir toda la ecuación (escribiendo $\sqrt{x^2+b^2}$ como $(x^2+b^2)^{1/2}$ podría ayudar también, ya que es más fácil aplicar entonces las reglas de diferenciación).

\begin{align*} f(x)&=2(a-x)(x+\sqrt{x^2+b^2})\\ &=2ax+2a(x^2+b^2)^{1/2}-x^2-x(x^2+b^2)^{1/2}\\ \end{align*}

Ahora encuentra la primera derivada $f'(x)$ y ponlo a cero para encontrar tu punto crítico (o punto de inflexión) $x_0$ .

Una vez que haya resuelto $f'(x)=0$ , tendrá que diferenciar una vez más para obtener $f''(x)$ e investigar su punto de inflexión. En resumen

Prueba de la primera derivada

Supongamos que $f'(x_0) = 0$ .

Caso $\{+,-\}$ Si $f'$ es positivo a la izquierda de $x_0$ y negativo a la derecha de $x_0$ entonces $f$ tiene un máximo relativo en $x_0$ .

Caso $\{-,+\}$ Si $f'$ es negativo a la izquierda de $x_0$ y positivo a la derecha de $x_0$ entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $x_0$ .

Caso $\{+,+\}$ y $\{-,-\}$ Si $f'$ tiene el mismo signo en los intervalos abiertos alrededor de $x_0$ entonces $f$ no tiene ni un mínimo ni un máximo relativo en $x_0$ .

Prueba de la segunda derivada para los extremos relativos

Supongamos que $f'(x_0) = 0$ y que $f''(x_0)$ existe. Entonces:

(i) si $f''(x_0)<0$ entonces $f$ tiene un máximo relativo en $x_0$ ;

(ii) si $f''(x_0)>0$ entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $x_0$ ;

(iii) si $f''(x_0)=0$ entonces $x_0$ puede ser un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de equilibrio.

Answer 3

Los puntos extremos de $f$ satisfacer $f'(x)=0$ . Los máximos tienen $f$ aumentando a la izquierda y disminuyendo a la derecha.

¿Puede seguir adelante?

Answer 4

$$f(x)=2(a-x)\left(x+\sqrt{x^2+b^2}\right)$$ $$f'(x)=2 (a-x) \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2}}\right)-2 \left(x+\sqrt{x^2+b^2}\right)$$ $$f'(x)=2(a-x)\frac{x+\sqrt{x^2+b^2}}{\sqrt{x^2+b^2}}-2 \left(x+\sqrt{x^2+b^2}\right)$$ $$f'(x)=2\left(x+\sqrt{x^2+b^2}\right) \left(\frac{a-x}{\sqrt{x^2+b^2}}-1 \right)$$ Por lo tanto, hay que resolver $$\frac{a-x}{\sqrt{x^2+b^2}}=1\implies \frac{(a-x)^2}{x^2+b^2}=1$$ lo que hace que su ecuación cuadrática que, de hecho, es lineal $$\frac{(a-x)^2}{x^2+b^2}=1 \implies (a^2-b^2)-2 a x=0$$ Estoy seguro de que puedes seguir adelante.

Answer 5

Dejar $\sqrt{x^2+b^2}+x=y,$ entonces $\displaystyle \sqrt{x^2+b^2}-x = \frac{b^2}{y}$ y $\displaystyle 2x=y-\frac{b^2}{y}$

$\displaystyle f(x) = (2a-2x)(x+\sqrt{b^2+y^2}) = (2a-y-\frac{b^2}{y})\cdot y = (2ay-y^2+b^2) $

$f(y)= (a^2+b^2)-(y-b)^2\leq (a^2+b^2)$ la igualdad se mantiene cuando $y=b$