demostrar cuando $r \geq t $ entonces $ x^{r} \geq x^{t} $

Question

cuando $ r,t \in \mathbb{Q} , x \geq 1 $ y $ r\geq t $ , demuestre que $ x^{r} \geq x^{t} $ .

lo he intentado mucho pero no puedo probarlo :(

Mi intento : puedo derivar de ello que esta proposición es igual a aquella donde $ s \in \mathbb{Q} , x \geq 1 $ entonces $ x^{s} \geq 1 $ . $ x^{r} - x^{t} = x^t (x^{r-t}-1) \geq 0 $ . por lo que se demuestra cuando podemos probar que donde $ s \in \mathbb{Q} , x \geq 1 $ entonces $ x^{s} \geq 1 $ .

por favor, ayúdame a probarlo.

Answer 1

Es trivial para $s=0$ Así que escriba $s=\frac ab$ , donde $a,b\ge 1$ son números enteros, entonces $$x^s=\sqrt[b]{x^a}\ge 1\iff x^a\ge 1\iff x\ge 1$$ En realidad sólo necesitamos implicaciones de derecha a izquierda, $x\ge1\implies x^a\ge1$ es una propiedad trivial de la multiplicación y la otra sólo dice raíces de un número $\ge1$ son de nuevo $\ge1$ (lo que de nuevo se deduce de esa propiedad trivial de la multiplicación ya que $\sqrt[b]y<1\implies y=(\sqrt[b]y)^b<1$ ).

Answer 2

Para $ x \ge 1$ tenemos $\ln x \ge 0$ . Entonces $$ r \ge t \Rightarrow \\ r \ln x \ge t \ln x \iff \ln x^r \ge \ln x^t $$ Como $\ln$ es estrictamente creciente ( $\ln' x = 1/x > 0$ ) se deduce que $$ x^r \ge x^t $$

Answer 3

Si $r \geq t$ entonces $r=t+j$ por lo que podemos reescribir la ecuación así: $$x^r \geq x^{r+j} $$

$$x^r \geq x^r \cdot x^j\rightarrow 1 \geq x^j$$ Ahora sabemos por la hipótesis que $x \geq 1$ ; pero entonces debemos tener que $j \leq 0$ Obsérvese que todo número elevado a cero es sólo uno ( $x^0=1$ ) así que:

$$x^0 \geq x^j$$ y esta afirmación es siempre cierta. Pero fíjate que aquí $j \leq 0$ por lo que si $x^j \leq x^0$ entonces $j \leq 0$ y viceversa; generalizando si $r\geq t$ entonces $x^{r} \geq x^{t}$

QED

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Puedes usar la inducción.

$1)$ Demostrar que la propiedad $x^r\geq x^t$ si $r \geq t$ se mantiene si $r=t=0$

$2)$ Demuestre que si la propiedad $x^r\geq x^t$ se mantiene si entonces también debe $x^{r+1} \geq x^{t+1}$

Demostración

Hipótesis : $x^r\geq x^t$ si $r \geq t$ .

$1)$ Es trivial que $x^0 \geq x^0$ porque $1 \geq 1$

$2)$ Tenemos que demostrar que $x^{r+1} \geq x^{t+1}$ $$x^{r+1} \geq x^{t+1}$$ $$x \cdot x^r \geq x \cdot x^t$$ $$x^r\geq x^t$$ lo cual es cierto debido a la hipótesis.

QED