Sobre el determinante de una representación de Galois continua e impar.

Question

En su documento, Documento Duke , Serre considera continua, la representación de Galois impar $\rho: G_{\mathbb{Q}}\longrightarrow GL_{n}(\overline{\mathbb{F}}_{p})$ donde $p$ es un primo racional. A grandes rasgos, (no entiendo mucho de francés salvo por la ayuda de la traducción de Google) Serre afirma (sección 1.3) que

$\det(\rho(Frob_{l})) = \epsilon(Frob_{l})\omega^{k}(Frob_{l})$ para todos los primos $l\nmid pN$ donde $N$ se define como el nivel de la representación (con una fórmula explícita dada en el documento) y $\epsilon$ es un carácter Dirichlet y $k$ es un número entero positivo.

Esto parece ser estándar ya que otros trabajos lo citaron sin reprobar y no pude encontrar ninguna referencia para la prueba. En particular, mis preguntas son:

1) ¿Dónde puedo encontrar una prueba de esto?

2) ¿Qué es exactamente $\epsilon$ En algún documento, se afirma que $\epsilon$ es el único carácter cuadrático mod $p$ ramificado sólo en $p$ Y no entiendo de dónde viene esto.

3) ¿Cómo se puede encontrar $k$ .

En cuanto a la motivación, creo que $\det(\rho(Frob_{l}))$ es un invariante importante de calcular ya que, por ejemplo, aparece en la ecuación de unión que asocia estas representaciones con formas modulares.

Gracias de antemano por cualquier idea.

Answer 1

$\det (\rho)$ es un rep unidimensional del grupo de Galois absoluto de los racionales, es decir, es un carácter. Todos estos caracteres pueden describirse mediante la teoría de campos de clases o, más sencillamente, mediante el teorema de Kronecker-Weber. También es un carácter de Dirichlet y, por las hipótesis, su conductor divide $pN$ . Factor de carácter de conductor $p$ (que será $\epsilon$ ) por un carácter de conductor $N$ . Esta última es una potencia de carácter ciclotómico y $k$ se define como esa potencia. La parte del carácter cuadrático debe estar bajo hipótesis adicionales.

Edición: Tengo $p$ y $N$ cambiada arriba. El carácter de conductor $N$ es $\epsilon$ . El carácter de conductor $p$ es una potencia de carácter ciclotómico porque $(\mathbb{Z}/p)^*$ es cíclico.