Recursos para la aritmética en enteros cuánticos.

Question

Estoy usando la definición $$[n]=\frac{A^{2n}-A^{-2n}}{A^2-A^{-2}},$$ aunque la definición habitual se recupera sustituyendo $q=A^2$ .

Al intentar demostrar varias identidades (y también leyendo la literatura) he tenido muchos problemas al pasar entre el LHS y el RHS de la ecuación superior. Sé que hay un montón de identidades por ahí (no estoy seguro de dónde tampoco), pero estoy más en busca de un programa / papel que recoge esta información.

Por ejemplo, uno puede usar un sistema de álgebra computacional (yo usé sage) que puede "probar" una identidad, pero lo que se devuelve es algún lío en la notación RHS, en lugar de algo significativo con los enteros cuánticos. No estoy familiarizado con su manipulación.

Un programa exitoso, en mi opinión, sería capaz de traducir $$\frac{A^{-1/4}}{A^{1/4}+A^{-1/4}}$$ en una forma cerrada razonable en notación entera cuántica, ya que me cuesta incluso poner en marcha este tipo de expresiones.

Answer 1

El producto/cociente de los enteros cuánticos puede ser factorizado en polinomios ciclotómicos homogéneos.

Por ejemplo: $$\Phi_3(q)=[3],\; \Phi_4(q)=\frac{[4]}{[2]},\; \Phi_5(q)=[5],\; \Phi_6(q)=\frac{[6][1]}{[2][3]},\; \Phi_7(q)=[7],\;\Phi_8(q)= \frac{[8]}{[4]}.$$ Un sistema de álgebra computacional debe ser capaz de factorizar un producto/cociente de enteros cuánticos en factores polinómicos ciclotómicos.

En cuanto a la lista de identidades, hay una fuente que conozco. Mi lista de Identidades algebraicas simples tiene muchas identidades que se satisfacen con el seno trigonométrico (indicado por $\texttt{[TS]}$ ). Por ejemplo: $$ \texttt{id2_3_1_2a = +a*a -b*b -(a-b)*(a+b)}.$$ Esto corresponde a la identidad trigonométrica $$ 0 = \sin(a)\sin(a) - \sin(b)\sin(b) - \sin(a-b)\sin(a+b),$$ sino también la identidad cuántica entera equivalente $$ 0 = [n][n] - [m][m] - [n-m][n+m].$$

Answer 2

Con su CAS se obtiene una función racional en $A^{2/m}$ $$f(A^{2/m})=f(A^{-2/m}),\qquad f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}, \qquad g,h \in \mathbb{C}[x]$$

$$f(x) = \frac{g(x)h(x^{-1})+g(x^{-1})h(x)}{2h(x)h(x^{-1})} = \frac{\sum_{n=0}^N b_n (x^n+x^{-n})}{\sum_{n=0}^M c_n (x^n+x^{-n})}$$ $$f(A^{2/m}) =\frac{\sum_{n=0}^N b_n \frac{[2n/m]}{[n/m]}}{\sum_{n=0}^M c_n \frac{[2n/m]}{[n/m]}}, \qquad [n/m] = \frac{A^{2n/m}-A^{-2n/m}}{A^{2}-A^{-2}}$$

Que puedes intentar simplificar con algunas otras reglas.