Rango de una matriz no diagonalizable

Question

Supongamos que $T L(C^3)$ es tal que 11 y 17 son valores propios de T. Además supongamos que T no es diagonalizable. Demostrar que existe un vector $(x, y, z) C^3$ tal que: $T(x, y, z) = (55 + 23x, 2 + 23y, 111 + 23z)$ .

Llevo un tiempo con este problema y no sé por dónde empezar. Parece que la mayor parte de la información es irrelevante excepto por el hecho de que estamos trabajando con un operador sobre un espacio tridimensional que es no diagonalizable y tiene dos valores propios garantizados. He tratado de demostrar que el rango de este operador es todo $C^3$ pero no sé con qué herramientas tengo que trabajar. Se agradecerá cualquier consejo.

Answer 1

Este es un $3 \times 3$ y dos valores propios $11$ y $17$ se dan. Si la matriz no es diagonalizable, al menos un valor propio tiene multiplicidad algebraica $> 1$ . Pero sólo hay $3$ valores propios contados por multiplicidad algebraica, por lo que no puede haber otros.

Si escribe $v = (x,y,z)$ y $w = (55, \pi2, \sqrt{111})$ (es que $\pi2$ se supone que es $\pi^2$ no importa), su pregunta está diciendo $(T-23 I) v = w$ . Pero $23$ no es un valor propio, por lo que $T-23I$ es suryente.