Demuestra que $g^p (1 + p)$ es una raíz primitiva módulo $p^e$

Question

Dado que g es una raíz primitiva módulo $p$ , demuestran que $g^p (1 + p)$ es una raíz primitiva módulo $p^e$ .

No estoy muy seguro de a dónde ir con esto. el $ gcd(p^e, g^p (1 + p))$ es bastante fácil de demostrar que es $1$ pero no estoy seguro de cómo demostrar que el orden de [g] en $U$ es el mismo que el orden de $U-$ o que este es el método al que debería aspirar. Estaba pensando que podría mostrarlo para $p^2$ y luego usar esa raíz primitiva módulo $p^2$ son también raíces primitivas para $p^e$ pero demostrando que es una raíz primitiva módulo $p^2$ ¡no está resultando mucho más fácil de hacer!

Answer 1

Demostramos que $g^p(1+p)$ es una raíz primitiva de $p^2$ y por lo tanto, como usted ha observado, de $p^k$ para todos $k$ .

Tenga en cuenta que $g^p(1+p)$ es una raíz primitiva de $p$ ya que es congruente con $g$ modulo $p$ .

En general, si $a$ es una raíz primitiva de $p$ entonces $a$ es una raíz primitiva de $p^2$ precisamente si $a^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}$ . Ahora calcula. Tenemos $$(g^p(1+p))^{p-1}=g^{p(p-1)}(1+p)^{p-1}.$$ Pero $g^{p(p-1)}\equiv 1\pmod{p^2}$ y por el Teorema del Binomio $(1+p)^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}$ . Así, $(g^p(1+p))^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}$ y el resultado es el siguiente.