Ceros de un polinomio de cuarto grado

Question

Dado que $\left(\sqrt3+\sqrt5\right)$ es un cero de un polinomio de cuarto grado con coeficientes enteros y coeficiente principal 1, ¿cómo se puede encontrar el término constante de este polinomio?

Sé que $\left(\sqrt3-\sqrt5\right)$ también debe ser una raíz porque es el conjugado. ¿Cómo puedo determinar las otras dos raíces (y en última instancia, el término constante) más allá de lo que tengo ahora?

$(x^2-2\sqrt3x-2)(x-r_1)(x-r_2)$

Gracias.

Answer 1

Sabemos que $\sqrt 3+\sqrt 5$ es una raíz del polinomio $\sqrt 3+\sqrt 5=x$ por lo que partimos de ahí y eliminamos los radicales para obtener un polinomio sobre $\Bbb Z$ :

\begin{align} \sqrt 3+\sqrt 5&=x\\ \sqrt 3&=x-\sqrt 5\\ 3&=x^2-2\sqrt 5 x+5\\ 2\sqrt 5x&=x^2+2\\ 20x^2&=x^4+4x^2+4\\ 0&=x^4-16x^2+4. \end{align}