$${e}^{iz} = \cos(z)+i\sin(z)$$ y $$e^{i\pi}=-1$$ Pero entonces $$\ln(-1)$$ pueden ser infinitos números (positivos y negativos), como $z$ es el logaritmo natural de ese número y la solución de la ecuación inicial. Mi duda: ¿Es $$\ln(-1) = \pm (2k-1)i\pi$$ donde $k$ es un número entero, ¿verdad? ¿Es correcto decir $\ln(-1)$ es, por ejemplo, igual a $-3i\pi$ ?
Respuestas
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El logaritmo puede elegirse simplemente en forma de rama. Eso significa que hay que fijar una $k$ . Por supuesto, no se extenderá a una función continua sobre $\mathbb{C} -0$ exactamente porque correr de un lado a otro $0$ una vez añade un ángulo imaginario.
En particular, el complejo $e^{z}$ no tiene inversa, para todo $z \in \mathbb{C}-0$ .
Matthew Scouten
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El logaritmo es lo que se conoce como una "función multivaluada" en el análisis complejo. Es decir, $\log(z)$ no es sólo un número complejo, es el conjunto de todos los $w$ tal que $e^w = z$ . Si $w_0$ es uno de ellos, entonces estos son $w_0 + 2 \pi i n$ para todos los enteros $n$ . Para muchos propósitos nos gustaría destacar una opción en particular: una "rama" de la función logaritmo. Una opción popular (la "rama principal", a menudo denotada como $\text{Log} (z)$ ), viene dada por $\text{Log}(r e^{i\theta}) = \ln(r) + i \theta$ para $r > 0$ y $-\pi < \theta \le \pi$ . Así que $\text{Log}(-1) = i \pi$ pero todos los demás múltiplos enteros de impar $i \pi$ son también valores de $\log(-1)$ .
