Actualmente estoy estudiando para un examen final y estoy confundido sobre la prueba de $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ que se da en Hoffman/Kunze. Lo escribiré entero para que mi pregunta esté en el contexto correcto.
Teorema: Sea $K$ sea un anillo conmutativo con identidad, y sea $A$ y $B$ sea $n \times n$ matrices sobre $K$ . Entonces, $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ . Prueba:
Dejemos que $B$ sea un fijo $n \times n$ matriz sobre $K$ y para cada $n \times n$ matriz $A$ definir $D(A)=\det(AB)$ . Si denotamos las filas de $A$ por $\alpha_{1},...,\alpha_{n}$ entonces $D(\alpha_{1},...,\alpha_{n})=\det(\alpha_{1}B,...,\alpha_{n}B)$ . Aquí $\alpha_{j}B$ denota el $1 \times n$ que es el producto de la matriz $1 \times n$ matriz $\alpha_{j}$ y el $n \times n$ matriz $B$ . Desde, $(c \alpha_{i} + \alpha_{i}')B = c \alpha_{i}B + \alpha_{i}' B$ y $\det$ es $n$ -lineal, es fácil ver que $D$ es $n$ -lineal. Si $\alpha_{i}=\alpha_{j}$ entonces $\alpha_{i}B=\alpha_{j}B$ y como $\det$ es alternativo, $D(\alpha_{1},...,\alpha_{n})=0$ . Por lo tanto, $D$ es alternativo. Ahora, $D$ es una alternancia $n$ -función lineal, por lo que $D(a)=\det(A)D(I)$ pero $D(I)=\det(IB)=\det(B)$ y así, $\det(AB) = D(A) = \det(A)\det(B)$ .
Creo que entiendo toda la prueba, cómo la muestra y por qué se da cada paso, pero sólo estoy confundido sobre cómo la parte justo antes de "es fácil ver que $D$ es $n$ -lineal" demuestran que $D$ es $n$ -lineal. Si alguien pudiera completar los detalles o dar una explicación de por qué eso es suficiente, sería útil.
Merci.
