Diagonalización en bloque de una matriz asimétrica real

Question

Dejemos que $A$ ser un $N \times N$ matriz real (no necesariamente simétrica) con valores propios distintos. Quiero diagonalizarla sobre los reales. Por supuesto, no siempre se puede hacer esto, pero he visto que se puede diagonalizar en bloque de la siguiente manera. Sea $\lambda_1, \dots , \lambda_R$ sean los valores propios reales de $A$ y $\mu_1, \overline{\mu}_1, \dots, \mu_Q, \overline{\mu}_Q$ sean los valores propios estrictamente complejos de $A$ , donde $R + 2Q = N$ . Sea $\mu_k = a_k + i b_k$ , $a_k, b_k \in \mathbb{R}$ .

Entonces hay una transformación real invertible (cambio de base) que pone $A$ en la forma $$\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots,\lambda_R) \oplus \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 \end{matrix} \right) \oplus \dots \oplus \left( \begin{matrix} a_Q & b_Q \\ -b_Q & a_Q \end{matrix} \right) $$ ¿Cómo se puede demostrar esto? También he visto una afirmación (que supongo que está relacionada) de que cualquier $2 \times 2$ La matriz real se puede poner en la forma $\left( \begin{matrix} a & b \\ -b & c \end{matrix} \right)$ mediante una transformación ortogonal. También me gustaría saber cómo demostrarlo.

Answer 1

Para la segunda afirmación, la prueba es la siguiente. Sea $A$ ser un $2 \times 2$ matriz real. Entonces se puede escribir $A = \frac{A+A^T}{2} + \frac{A-A^T}{2}$ . Existe una transformación ortogonal $V$ que diagonaliza la parte simétrica $$V\frac{A+A^T}{2}V^T = \left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & c \end{matrix} \right)$$ . La antisimetría se mantiene bajo esta transformación, por lo que $$V\frac{A-A^T}{2}V^T = \left( \begin{matrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{matrix} \right)$$ lo que completa la prueba.