Densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica en la materia

Question

No he podido encontrar ninguna referencia para la densidad lagrangiana en presencia de materia. Es mucho más fácil encontrar estas expresiones en el vacío, pero, cuando se trata de materia, no he podido encontrar ninguna información clara. Es decir, cuando nos referimos a estas ecuaciones: $$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E}=\large{\frac{\rho}{\epsilon_0}} \\ \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \\ \\ \nabla \times \mathbf{E}=-\large{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}} \\ \\ \nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}+\large{\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}} \end{cases}$$

Sé que la densidad lagrangiana asociada es:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-J_{\mu}A^{\mu}$$

Sin embargo, estaba buscando cómo se escribirían estas otras ecuaciones en términos de la formulación lagrangiana:

$$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho \\ \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \\ \\ \nabla \times \mathbf{E}=-\large{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}} \\ \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\large{\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} \end{cases}$$

Y lo único que tengo, es el enlace que dejo a continuación:

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism#Matter

Dice: "Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente":

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-J_{\mu}A^{\mu}+\frac{1}{2} F_{\mu \nu}\mathcal{M^{\mu \nu}}$$

Donde $\mathcal{M^{\mu \nu}}$ es el tensor de magnetización-polarización.

Sin embargo, en este enlace no se explica por qué el término correspondiente a las corrientes ligadas es como es, y no he podido encontrar en ningún sitio información que aclare mis dudas.

Entonces, mi pregunta es: ¿Por qué el término correspondiente a las corrientes ligadas es como es?

Answer 1

1. Las ecuaciones de la electrodinámica clásica en la materia no tiene sentido porque la propia materia es un sujeto de las mismas ecuaciones. Así que el vacío es la única opción.
2. Las ecuaciones de Maxwell en el vacío contienen 10 funciones desconocidas (3E, 3H, 4J). Tenemos 6 ecuaciones independientes en las ecuaciones de Maxwell. Para que la teoría sea definitiva necesitamos añadir 4 ecuaciones más. Se llaman ecuaciones de la dinámica. Podría ser la dinámica de Newton pero el problema es La dinámica de Newton se formuló originalmente para una trayectoria de una partícula - no es una dinámica de campo. No es fácil cerrar el sistema. Después de ver todos los intentos he optado por desarrollar el más simple. Introduje el término de densidad de carga invariante en la densidad de Lagrange y me deshice del término de interacción (el término de polarización de la magnetización es igual a cero en el vacío). Ver mi artículo http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Mathematical%20Physics/Download/1741