Tiempo de salida de un paseo aleatorio gaussiano en $[-a,a]$

Question

Dejemos que $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ sea un paseo aleatorio gaussiano estándar con incrementos i.i.d. $X_i \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Definir la primera hora de salida $\tau$ como $\tau=\inf_n\{|S_n|\geq a \}$ . Estoy tratando de resolver los momentos de $\tau$ y también la distribución de $\tau$ .

Esta pregunta me resulta extremadamente difícil. Sé que para los paseos aleatorios simples o los movimientos brownianos, $E[\tau]=a^2$ resolviendo la ecuación diferencial o utilizando el principio de reflexión. Sin embargo, no sé cómo empezar con esta cuestión. Agradezco mucho cualquier ayuda que me puedan proporcionar.

Answer 1

Supongamos por comodidad que $\tau=\inf_n\{|S_n|> a \}$ (no cambiará la respuesta). Deja que $X_0\in [-a,a]$ sea el punto de partida del paseo aleatorio, y que $f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ sea el pdf de $\mathcal N(0,1)$ .

Si dejas que $t(x)=E[\tau|X_0=x]$ para $x\in[-a,a]$ entonces $$t(x)=\int_{-a}^af(u-x)(1+t(u))du=\int_{-a-x}^{a-x}f(z)(1+t(z+x))dz$$ así que $$t'(x)=(t(a)+1)(f(x+a)-f(x-a))$$ Y como $t(-a)=t(a)$ , $$t(x)=(t(a)+1)\int_{-a}^x(f(u+a)-f(u-a))du+t(a)$$ $$t(x)=\frac12(t(a)+1)(erf(\frac{a-x}{\sqrt2})+erf(\frac{a+x}{\sqrt2})-erf(\sqrt2 a))+t(a)$$ $$t(0)=\frac12(t(a)+1)(2erf(\frac{a}{\sqrt2})-erf(\sqrt2 a))+t(a)$$

Desgraciadamente no sé cómo averiguar qué $t(a)$ es. Tal vez me falta alguna condición inicial o una simetría inteligente.