Crecimiento de $\frac{1}{m-1} \sum_{t | m-1} t \varphi(t)$

Question

Estoy interesado en los límites para

$$S_m = \frac{1}{m-1} \sum_{t | m-1} t \varphi(t)$$

como $m$ se hace grande.

Answer 1

Si dejas que $n = m-1$ y $f(n) = S_{m} / n$ , entonces $f(n)$ es una función multiplicativa, con el producto de Euler $$\frac1{n^2}\prod_{p^r \mathop{\mid\mid}n} \sum_{k=0}^r p^k\phi(p^k) = \prod_{p^r \mathop{\mid\mid}n} p^{-2r}\left(1+p(p-1)+p^3(p-1)+\cdots+p^{2r-1}(p-1)\right).$$

Esto se simplifica a $$f(n) = \prod_{p^r \mathop{\mid\mid}n} \left(\frac{p+p^{-2r}}{p+1}\right) \le \prod_{p \mid n} \left(\frac{p+1/4}{p+1}\right).$$

Desde $\sum_p 1/p$ diverge, este producto puede hacerse arbitrariamente cercano a $0$ eligiendo $n$ sea divisible por muchos primos pequeños. Así que no, $S_m$ no puede estar limitada por debajo por una función lineal de $m$ .

Por otra parte, dado que $f(n) \ge n/\sigma(n)$ (où $\sigma$ es la función de suma de divisores), es posible acotar $S_m$ desde abajo por $m / (2\log \log m)$ para que sea lo suficientemente grande $m$ . El lento crecimiento de $\log \log m$ explica sus observaciones empíricas.

Answer 2

Procediendo como en la respuesta anterior dejemos $T(n) = S(n+1)$ y examinaremos $T(n)$ con más detalle. Escríbelo de la siguiente manera: $$ T(n) = \frac{1}{n} \sum_{t|n} t \varphi(t) = \sum_{t|n} \varphi(t) \left( \frac{n}{t} \right)^{-1}.$$ Ahora se deduce de las propiedades básicas del totiente de Euler que $$ L(s) = \sum_{n\ge 1} \frac{T(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\zeta(s+1).$$ Para ciertas series de Dirichlet de las que ésta es un ejemplo, tenemos para $c$ elegido correctamente que $$ T(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} L(s) n^{s-1} ds.$$ Ahora tomando los residuos en $s=2$ y $s=0$ obtenemos $$ T(n) \sim 1/6\,{n}^{-1}+6\,{\frac {\zeta \left( 3 \right) n}{{\pi }^{2}}} $$ lo que confirma su hipótesis de que en promedio $n$ , $T(n)$ es lineal. Esta expansión podría continuar y ahí es donde aparecerá la fluctuación necesaria.

También podemos aplicar el teorema de Wiener-Ikehara para estudiar el orden medio de la suma de $T(n)$ que es mucho más suave. Tenemos $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n T(n) = \frac{1}{2n} T(n)+ \frac{1}{n}\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} L(s) n^s/s ds,$$ que da $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n T(n) \sim \frac{1}{2n} T(n)+\frac{1}{n} \left( 1/6\,\ln \left( n \right) +1/6\,\gamma-2\,\zeta \left( 1,-1 \right) -1/6\,\ln \left( 2\,\pi \right) +3\,{\frac {\zeta \left( 3 \right) {n}^{2}}{{\pi }^{2}}}\right).$$ Esta última aproximación es de una precisión realmente asombrosa, por lo que la incluyo aquí aunque no responda directamente a la pregunta del PO.

Answer 3

Ciertamente, podemos atarlo desde arriba, ya que $$\frac{1}{m-1}\sum_{t|m-1}t\varphi(t) \leq \frac{m-1}{m-1}\sum_{t|m-1}\varphi(t) = m-1$$