Estoy interesado en los límites para
Sm=1m−1∑t|m−1tφ(t)
como m se hace grande.
Estoy interesado en los límites para
Sm=1m−1∑t|m−1tφ(t)
como m se hace grande.
Si dejas que n=m−1 y f(n)=Sm/n , entonces f(n) es una función multiplicativa, con el producto de Euler 1n2∏pr∣∣nr∑k=0pkϕ(pk)=∏pr∣∣np−2r(1+p(p−1)+p3(p−1)+⋯+p2r−1(p−1)).
Esto se simplifica a f(n)=∏pr∣∣n(p+p−2rp+1)≤∏p∣n(p+1/4p+1).
Desde ∑p1/p diverge, este producto puede hacerse arbitrariamente cercano a 0 eligiendo n sea divisible por muchos primos pequeños. Así que no, Sm no puede estar limitada por debajo por una función lineal de m .
Por otra parte, dado que f(n)≥n/σ(n) (où σ es la función de suma de divisores), es posible acotar Sm desde abajo por m/(2loglogm) para que sea lo suficientemente grande m . El lento crecimiento de loglogm explica sus observaciones empíricas.
Procediendo como en la respuesta anterior dejemos T(n)=S(n+1) y examinaremos T(n) con más detalle. Escríbelo de la siguiente manera: T(n)=1n∑t|ntφ(t)=∑t|nφ(t)(nt)−1. Ahora se deduce de las propiedades básicas del totiente de Euler que L(s)=∑n≥1T(n)ns=ζ(s−1)ζ(s)ζ(s+1). Para ciertas series de Dirichlet de las que ésta es un ejemplo, tenemos para c elegido correctamente que T(n)=12πi∫c+i∞c−i∞L(s)ns−1ds. Ahora tomando los residuos en s=2 y s=0 obtenemos T(n)∼1/6n−1+6ζ(3)nπ2 lo que confirma su hipótesis de que en promedio n , T(n) es lineal. Esta expansión podría continuar y ahí es donde aparecerá la fluctuación necesaria.
También podemos aplicar el teorema de Wiener-Ikehara para estudiar el orden medio de la suma de T(n) que es mucho más suave. Tenemos 1nn∑k=1T(n)=12nT(n)+1n12πi∫c+i∞c−i∞L(s)ns/sds, que da 1nn∑k=1T(n)∼12nT(n)+1n(1/6ln(n)+1/6γ−2ζ(1,−1)−1/6ln(2π)+3ζ(3)n2π2). Esta última aproximación es de una precisión realmente asombrosa, por lo que la incluyo aquí aunque no responda directamente a la pregunta del PO.
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