Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js

2 votos

Crecimiento de 1m1t|m1tφ(t)

Estoy interesado en los límites para

Sm=1m1t|m1tφ(t)

como m se hace grande.

2voto

Erick Wong Puntos 12209

Si dejas que n=m1 y f(n)=Sm/n , entonces f(n) es una función multiplicativa, con el producto de Euler 1n2prnrk=0pkϕ(pk)=prnp2r(1+p(p1)+p3(p1)++p2r1(p1)).

Esto se simplifica a f(n)=prn(p+p2rp+1)pn(p+1/4p+1).

Desde p1/p diverge, este producto puede hacerse arbitrariamente cercano a 0 eligiendo n sea divisible por muchos primos pequeños. Así que no, Sm no puede estar limitada por debajo por una función lineal de m .

Por otra parte, dado que f(n)n/σ(n) (où σ es la función de suma de divisores), es posible acotar Sm desde abajo por m/(2loglogm) para que sea lo suficientemente grande m . El lento crecimiento de loglogm explica sus observaciones empíricas.

1voto

Marko Riedel Puntos 19255

Procediendo como en la respuesta anterior dejemos T(n)=S(n+1) y examinaremos T(n) con más detalle. Escríbelo de la siguiente manera: T(n)=1nt|ntφ(t)=t|nφ(t)(nt)1. Ahora se deduce de las propiedades básicas del totiente de Euler que L(s)=n1T(n)ns=ζ(s1)ζ(s)ζ(s+1). Para ciertas series de Dirichlet de las que ésta es un ejemplo, tenemos para c elegido correctamente que T(n)=12πic+iciL(s)ns1ds. Ahora tomando los residuos en s=2 y s=0 obtenemos T(n)1/6n1+6ζ(3)nπ2 lo que confirma su hipótesis de que en promedio n , T(n) es lineal. Esta expansión podría continuar y ahí es donde aparecerá la fluctuación necesaria.

También podemos aplicar el teorema de Wiener-Ikehara para estudiar el orden medio de la suma de T(n) que es mucho más suave. Tenemos 1nnk=1T(n)=12nT(n)+1n12πic+iciL(s)ns/sds, que da 1nnk=1T(n)12nT(n)+1n(1/6ln(n)+1/6γ2ζ(1,1)1/6ln(2π)+3ζ(3)n2π2). Esta última aproximación es de una precisión realmente asombrosa, por lo que la incluyo aquí aunque no responda directamente a la pregunta del PO.

0voto

Jeff Leonard Puntos 258

Ciertamente, podemos atarlo desde arriba, ya que 1m1t|m1tφ(t)m1m1t|m1φ(t)=m1

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X