En primer lugar, demostraremos un lema.
Lema Dejemos que $p$ sea un número primo que satisfaga $p \equiv 3 (mod \ 4)$ . Entonces, $$ p\mid a^2+b^2 \implies p\mid a \ \text{and} \ p\mid b. $$
Prueba del lema En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $p\mid a$ entonces $p$ debe dividir $b$ y viceversa. Por lo tanto, supongamos que $p\nmid a,b$ . Ahora, $$ \frac{a^2}{b^2}\equiv -1 (mod p) $$ nos da una contradicción, ya que $-1$ no es un residuo cuadrático módulo $p$ , si $p-3$ es divisible por $4$ (hecho bien conocido de la teoría de números).
Equipados con esto, atacaremos el problema. Supongamos, $$ \frac{x^2+y^2}{x-y} = p\alpha $$ para algunos $\alpha$ y $p \equiv 3 \ (mod \ 4)$ . Entonces, podemos definir $x = px'$ y $y = py'$ para argumentar que $$ \frac{x'^2+y'^2}{x'-y'} = \alpha. $$
Con este razonamiento, partiendo de cualquier $p\alpha$ podemos llegar a $\alpha = 1$ o $5$ que es el único divisor primo de $1995$ que es congruente con $1$ modulo $4$ .
Caso 1 $\frac{x'^2 + y'^2}{x'-y'}=1$ . Con algunas desigualdades muy básicas, puedes convencerte de que esto no es posible.
Caso 2 $\frac{x'^2 + y'^2}{x'-y'}=5$ . En este caso, observe que $$ x'^2 \leq x'^2 + y'^2 = 5x'-5y' \leq 5x' \implies x'\leq 5. $$
Con algo de álgebra, las únicas soluciones son $(x',y') = (3,1)$ y $(2,1)$ . A partir de aquí, se puede obtener el conjunto de soluciones. Por ejemplo, para hacer $\frac{x^2+y^2}{x-y}=5$ Los pares de arriba funcionan. Para hacerlo, digamos, $3\times 5 \times 7$ multiplique estos pares por $3\times 7$ . Esto produce el conjunto completo, y observe que tiene $16$ posibilidades, como $1995$ tiene 16 divisores.
