Demuestre que si $f=g\ \text{a.e.}$ en $[a,b]$ implica que $f=g$ en $[a,b]$ .

Question

Supongamos que $f,g$ son funciones continuas sobre $[a,b]$ . Demuestre que si $f=g\ \text{a.e.}$ en $[a,b]$ entonces, de hecho $f=g$ en $[a,b]$ .

El resultado es verdadero si $[a,b]$ se sustituye por cualquier conjunto medible?

Mi esfuerzo :

Dejemos que $A=\{x\in [a,b]:f(x)\neq g(x)\}$ . Se da que $\mu(A)=0$ donde $\mu$ denota la medida de un conjunto.

Para demostrar que $A=\emptyset$ . Supongamos que $A\neq \emptyset $ . Sea $p\in A$ . Entonces $f(p)\neq g(p)$ y también $f,g$ son continuas en $p$ .

Como $\mu(A)=0$ entonces existe una secuencia de intervalos $\{I_n\}$ tal que $A\subset \bigcup_{n=1}^\infty I_n$ y $\sum_{n=1}^\infty l(I_n)<\epsilon$ para cualquier $\epsilon>0$ .

Pero no puedo utilizar la continuidad de $f,g$ . Por favor, den algunas pistas.

Answer 1

Supongamos que $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ y $g:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ son distintos.

Entonces hay un $x_0\in [a,b]$ con $f(x_0)\neq g(x_0)$

Por continuidad hay $\delta>0$ para que $f(x)\neq g(x)$ para todos $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\cap[a,b]$ .

Este conjunto tiene una medida mayor que $0$ por lo que concluimos que $f$ y $g$ no son iguales en casi todas partes.

---

Si cambiamos $[a,b]$ con cualquier otro conjunto medible el resultado puede no ser válido, por ejemplo $\{0\}$ es un conjunto medible (su medida es cero).

Si $f,g$ son dos funciones cualesquiera de $\{0\}$ a $\mathbb R$ entonces $f$ y $g$ son continuos, y claramente $f=g$ a.e. Pero por supuesto $f$ no debe ser igual a $g$ necesariamente.

Answer 2

Suponemos que $f$ y $g$ son iguales a.e. en $[a,b]$ con el conjunto $A=\{x \in [a,b]|f(x)\neq g(x) \}$ y $m(A)=0$ . Queremos demostrar que $A$ está vacía. Dado que el texto sólo define la continuidad de valor real funciones que asumiremos $f$ y $g$ sólo adquieren valores reales por lo que $f-g=0$ en $[a,b] \setminus A$ . Siguiente $f$ y $g$ son ambos continuos por lo que $f-g$ es continua. Así, sabemos que para cualquier $x \in [a,b]$ , $f-g$ es continua. Por definición de continua en un punto $x \in [a,b]$ para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ de manera que si $x' \in [a,b]$ y $|x-x'|<\delta$ entonces $|(f(x)-g(x)) - (f(x')-g(x'))|<\epsilon$ . Si restringimos $\delta<b-a$ entonces $|x-x'|<\delta$ define el intervalo $(x-\delta,x+\delta) \cap [a,b]$ tal que $m((x-\delta,x+\delta) \cap [a,b])\geq \delta$ .

El intervalo $(x-\delta,x+\delta) \cap [a,b]$ contendrá puntos en $[a,b] \setminus A$ porque su medida es mayor que la de $A$ . Si dejamos que $x'$ sea un punto arbitrario en $(x-\delta,x+\delta) \cap ([a,b]\setminus A)$ sabemos que
$$|(f(x)-g(x)) - (f(x')-g(x'))|<\epsilon$$ $$|(f(x)-g(x)) - 0)|<\epsilon$$ $$|f(x)-g(x)|<\epsilon.$$ Desde $\epsilon$ es arbitrario esto implica que $f(x)=g(x)$ para todos $x\in A$ lo que resulta en $f=g$ en $[a,b]$ .

Answer 3

La función $h(x)=f(x)-g(x)$ también es continua. Sea $U=\{x: f(x)=g(x)\}.$

Entonces $U=h^{-1}\{0\}.$ Así que $U$ está cerrado.

También, $U$ es denso en $[a,b].$ De lo contrario, algún intervalo abierto $(c,d)\subset [a,b],$ con $c<d,$ es disjunta de $U.$ Pero entonces $\mu (A)\geq d-c>0,$ donde $A=\{x\in [a,b]: f(x)\ne g(x)\}.$

Un subconjunto denso cerrado de $[a,b]$ debe ser igual a $[a,b].$ Así que $U=[a,b].$

Answer 4

Sustitución de $[a, b]$ por otro conjunto medible no funcionará - considere el conjunto $X = [0, 1] \cup \{2\}$ . Diga $f(x) = 0$ para todos $x$ y $g$ es la función característica de $\{2\}$ . Entonces $f = g$ en $[0, 1]$ y, por tanto, en casi todos los lugares de $X$ Pero $f \neq g$ .

La parte clave de la prueba que buscas tendrá que ver con el hecho de que los puntos cercanos tendrán cerca $f$ -(y también con $g$ ); si yo fuera usted, trataría de demostrar que si $f(x) \neq g(x)$ entonces hay todo un intervalo alrededor de $x$ en el que $f \neq g$ .