¿Por qué es necesario que un anillo tenga identidad multiplicativa?

Question

He leído antes que en un anillo $(R,+,.)$ lo siguiente tiene que mantenerse:

1. $(R,+)$ es un grupo abeliano
2. la multiplicación es asociativa y cerrada
3. Las leyes de distribución de la izquierda y la derecha se mantienen.

Sin embargo, hace poco me encontré con el hecho de que cada anillo tiene que tener una identidad multiplicativa. ¿Puede alguien aclarar esto? ¿Es necesario que el anillo tenga una identidad multiplicativa?

(De hecho, se mencionó que es una de las razones por las que $ker(f)$ no es un subring donde $f$ es un homomorfismo de anillo ya que la identidad aditiva y la identidad multiplicativa no suelen estar en el mismo subconjunto).

Además en 2 lugares diferentes he notado que hay una diferencia sobre si el mapeo $f(1) \to 1$ es una condición necesaria para $f$ para ser un homomorfismo de anillo. Creo que esto también está relacionado con mi duda sobre si la identidad multiplicativa es de hecho una condición necesaria para definir un anillo.

Answer 1

Muchos autores toman la existencia de $1$ como parte del definición de un anillo. De hecho, no estoy de acuerdo con el comentario de Alessandro y afirmo que más los autores toman la existencia de $1$ para formar parte de la definición de un anillo. Hay otro objeto, a menudo llamado rng (se pronuncia "rung"), que se define tomando todos los axiomas que definen un anillo excepto no requiere que haya un $1$ .

Los Rng's son útiles en sí mismos, por ejemplo las funciones con soporte compacto sobre un espacio no compacto no forman un anillo, forman un rng. Pero también hay un teorema que afirma que todo rng es isomorfo a un ideal en algún anillo. Así que estudiar los anillos y sus ideales es suficiente, y por eso es tan popular incluir la existencia de $1$ como uno de los axiomas de un anillo.

Así que para resumir, no hay realmente una razón por la que necesario para que los anillos tengan un $1$ pero ciertamente no se deduce de los otros axiomas. Es sólo una elección de terminología: ¿Dices que los anillos tienen un $1$ y si no tienen un $1$ llamarlos rngs, o dices que los anillos no necesitan un $1$ y cuando lo tienen los llaman anillos con la unidad?

Answer 2

Actualmente estoy dando clases con la 4ª edición del libro de texto de Teoría de Galois de Stewart. Stewart define un anillo como lo que otros autores podrían llamar un anillo conmutativo con unidad. La razón es sencilla: en este libro no se habla mucho de los anillos no conmutativos, ni de los anillos sin unidad, y se hace viejo escribir "anillo conmutativo con unidad" una y otra vez, cuando ese es el único tipo de anillo que se necesita.

Stewart define entonces un subring de un anillo como un subconjunto de un anillo cerrado bajo adición, sustracción y multiplicación. Obsérvese que un subring no tiene por qué tener unidad: un subring no tiene por qué ser un anillo, en este libro. Bueno, es una convención. Mientras se explique al lector, y el autor sea coherente con ella, creo que está bien.

Luego va y lo estropea preguntando, en el ejercicio 16.2, si los anillos $\bf Z$ y $2\bf Z$ son isomorfas.

Answer 3

Lang y algunos otros autores utilizan "Anillo" para significar "Anillo con unidad" y dicen "Anillo sin unidad" para lo que yo llamaría un Anillo.

Y es que los anillos con unidad son, con diferencia, los más interesantes. Hay pocas cosas que puedas decir o hacer a un anillo (o anillo sin unidad para ti) pero hay MUCHAS cosas que puedes hacer con los anillos con unidad (anillos para ti)

Answer 4

Sólo pensé en ampliar la respuesta de Jim y proporcionar una fuente que discute esta misma cuestión sobre si un anillo debe asumir la existencia de una identidad o no con un poco más de detalle. (Este es definitivamente uno de los mejores juegos de palabras en álgebra que he encontrado. Anillo sin la $i$ por no tener identidad).

Hay un capítulo de D.D. Anderson al principio del libro sobre la teoría ideal multiplicativa sobre los rngs. Puedes ver la introducción en el look inside que habla un poco de la historia de esto. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-36717-0_1#page-1