¿Por qué encontrar $M$ ¿Valen los vectores propios de una matriz más pequeña?

Question

Estoy siguiendo este artículo en el reconocimiento facial. En la sección "cálculo de caras propias", los autores presentan una solución para el problema de calcular una matriz muy grande:

Dejemos que $A_{N^2\times M}$ ser un $M$ de datos, donde cada columna de un $N\times N$ imagen. En lugar de calcular la $M$ grandes vectores propios de la $N^2\times N^2$ matriz de covarianza calculan la $M$ vectores propios de $L=A^TA$ que es de tamaño $M\times M$ .

• ¿Por qué es esto válido? \good ¿solución suficiente?
• ¿Qué criterios se aplican a un vector más grande? ¿más grande en qué sesión?

Answer 1

Si $A$ y $B^T$ son $m\times n$ matrices (por lo que ambos productos $AB$ y $BA$ existen) entonces sus polinomas característicos $p_{AB}(\lambda)$ y $p_{BA}(\lambda)$ son casi iguales (busque el esquema de la prueba en Wikipedia ): $$ p_{AB}(\lambda)=(-\lambda)^{m-n}p_{BA}(\lambda). $$ Por lo tanto, sus valores propios no nulos son también los mismos.

Además, para cualquier vector propio $x$ de la matriz $AB$ correspondiente a un valor propio no nulo $\lambda$ el vector $Bx$ se convierte en un vector propio de $BA$ y corresponde al mismo valor propio. $$ (BA)(Bx)=B(AB)x=B(\lambda x)=\lambda(Bx). $$