Que el incirculo (con centro $I$ ) de $\triangle{ABC}$ tocar el lado $BC$ en $X$ y que $A'$ sea el punto medio de este lado. Entonces demuestre que la línea $A'I$ (extendida) biseca $AX$ . 
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Stefan4024
Puntos
7778
Primero denote la intersección de $A'I$ y $AX$ con $M$ . Ahora dejemos que $IX$ intersecan el incentro por segunda vez en $Y$ . Entonces dejemos que $AY$ intersección $BC$ en $W$ . Es bien sabido que $W$ es el punto de tangencia de la circunferencia y $BC$ (puedes consultar la prueba de este lema aquí , Capítulo $2$ ). También es conocido que $A'X = A'W$ . Ahora considere $\triangle A'YX$ tenemos que $A'I \parallel AW$ ya que $A'I$ es una línea media en el triángulo. Ahora usando esto tenemos por Teorema del Intercepto:
$$\frac{AM}{AX} = \frac{A'W}{XW} = \frac 12$$
Por lo tanto, $M$ es un punto medio de $AX$ .
Roger Hoover
Puntos
56
Esto es un ejercicio casi trivial en coordenadas baricéntricas : sólo hay que comprobar que $$ \det\left(\frac{A+X}{2};I;A'\right) = 0 \tag{1} $$ dado $I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$ , $A'=\frac{B+C}{2}$ y $X=\frac{(p-c)B+(p-b)C}{a}$ pero..:
$$ (a+b+c) I = aA+bB+cC = a(X+A) + (p-a)(B+C).\tag{2}$$
