Para la u(x,y) dada encontrar una v(x,y) tal que f(z) = u(x,y) + iv(x,y) sea holomorfa en alguna región de $\mathbb{C}$

Question

Utilicé las ecuaciones de Cauchy Riemann y obtuve dos funciones diferentes v(x,y) mediante la integración. ¿Debo sumarlas?

Mi u(x,y) es $\frac{x}{x^2 + y^2}$

Mi parcialidad con respecto a x es $\frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$ y mi parcialidad con respecto a y es $\frac{-2xy}{x^2 + y^2}$ .

Answer 1

$u(x,y)$ parcial wrt $x$ es $\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^2+y^2)^2}$ , parcial wrt $y$ es $\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$ . Por la regla de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, tenemos $v(x,y)$ parcial wrt $y$ es $\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^2+y^2)^2}$ , parcial wrt $x$ es $\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$ . Entonces podemos dejar que $v(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}$ .

Answer 2

En primer lugar, tus derivadas parciales están un poco fuera de lugar. Usted debe tener: $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$$

A continuación, recuerda lo que dicen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

Así vemos que las ecuaciones de Cauchy-Riemann dictan que $v$ debe satisfacer $$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$

Intenta construir $v$ de esto.

Answer 3

Aunque ya tienes una respuesta para tu pregunta, te daré una solución detallada en aras de la exhaustividad.

Pero primero déjame señalar que tu objetivo es encontrar el conjugado armónico de la función $u$ que mencionas (comprueba que efectivamente es armónico). Para el que esté familiarizado con los DE, todo esto es pura rutina.

Ahora para el construcción de $v$ : $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^2+y^2)^2}\quad and\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2yx}{(x^2+y^2)^2}$$ Las ecuaciones de Cauchy-Riemann deben satisfacerse, es decir $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\quad and\quad\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$ Así: $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\Leftrightarrow\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ Integrando ambos lados de la ecuación anterior (wrt $y$ ) obtenemos $$v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}+c(x)\quad(1)$$ donde $c$ es una función (suave) de $x$ . A continuación, diferenciar ambos lados de $(1)$ wrt $x:$ $$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+c'(x)\quad(2)$$ Utilice $(2)$ y la ecuación C-R correcta para obtener $c'(x)=0,$ así $c$ es una función constante. Entonces $(1)$ da el resultado deseado $v:$ $$v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}+c$$