Encontrar la integral impropia (en función de un parámetro)

Question

Tengo la siguiente integral impropia:

$$ \int \limits_0^{\infty} x^{2n}e^{-x^2}\cos(2yx)dx, n \in \mathbb{N} $$

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Quiero encontrar la función de $n$ y $y$ . Para ello, he intentado integrar por partes:

$$ \begin{align} \int \limits_0^{\infty} x^{2n}e^{-x^2}\cos(2y)dx &= -\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty} x^{2n - 1}\cos(2yx) d e^{-x^2} = \frac{1}{2}x^{2n - 1}\cos(2yx)e^{-x^2} \bigg\rvert_{0}^{\infty} \\&+ \frac{(2n - 1)}{2} \int \limits_{0}^{\infty} x^{2n-2}\cos(2yx)e^{-x^2}dx - y \int\limits_{0}^{\infty}x^{2n - 1} \sin(2yx)e^{-x^2}dx \\&= \frac{(2n - 1)}{2} \int \limits_{0}^{\infty} x^{2n-2}\cos(2yx)e^{-x^2}dx - y \int\limits_{0}^{\infty}x^{2n - 1} \sin(2yx)e^{-x^2}dx \end{align} $$

En este punto no sé qué hacer a continuación para deshacerme de $\sin(2yx)$ de alguna manera para obtener una relación recurrente para esta integral. Tal vez estoy haciendo algo mal (pero no tengo idea de cómo resolver esto de otra manera).

Answer 1

Existen varios métodos para calcular la integral ( $n=0,1,2,...$ , $y$ real)

$$f_{0}(n,y) = \int_0^{\infty } \exp \left(-x^2\right) x^{2 n} \cos (2 x y) \, dx\tag{1}$$

§1. Uso de la difenciación de una integral paramétrica.

Sustituir $\cos (z)$ por la fórmula de Euler con $\Re(\exp (i z))$ , entonces considera el intergral más simple con un parámetro $a$

$$f(a,y) = \int_0^{\infty } \exp \left(-a x^2+2 i x y\right) \, dx$$

y observe que el factor $x^{2n}$ se puede generar diferenciando $n$ veces con respecto a a y luego dejar que $a\to 1$ .

La integral $f$ se puede evaluar utilizando el suplemento cuadrático en el exponente para dar

$$f(a,y) = \frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{y^2}{a}} \left(1+i\; \text{erfi}\left(\frac{y}{\sqrt{a}}\right)\right)}{2 \sqrt{a}}$$

donde el $erfi()$ es una función especial de error ( http://mathworld.wolfram.com/Erfi.html )

y la parte real es

$$f_{r}(a,y)=\frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{y^2}{a}}}{2 \sqrt{a}}\tag{1.1}$$

Ahora, diferenciando $f_{r}$ $n$ veces con respecto a $a$ y luego dejar que $a \to 1$ obtenemos el resultado de la integral original para los primeros $n$

$$\begin{array}{l} \left\{1,\frac{1}{4} \sqrt{\pi } e^{-y^2} \left(1-2 y^2\right)\right\} \\ \left\{2,\frac{1}{8} \sqrt{\pi } e^{-y^2} \left(4 y^4-12 y^2+3\right)\right\} \\ \left\{3,\frac{1}{16} \sqrt{\pi } e^{-y^2} \left(-8 y^6+60 y^4-90 y^2+15\right)\right\} \\ \left\{4,\frac{1}{32} \sqrt{\pi } e^{-y^2} \left(16 y^8-224 y^6+840 y^4-840 y^2+105\right)\right\} \\ \left\{5,\frac{1}{64} \sqrt{\pi } e^{-y^2} \left(-32 y^{10}+720 y^8-5040 y^6+12600 y^4-9450 y^2+945\right)\right\} \\ \end{array}\tag{1.2}$$

Los coeficientes de los polinomios figuran en https://oeis.org/A223524

§2. Ataque directo, e integral de contorno

Como el integrando es simétrico podemos escribir

$$f_{s}(n,y) =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty } \exp \left(-x^2\right) x^{2 n} \cos (2 x y) \, dx\tag{2.1}$$

El integrando puede escribirse como

$$x^{2 n} \exp \left(-x^2+2 i x y\right) =x^{2 n}\exp (-y^2-(x-i y)^2)$$

Sustituyendo $x=(z+i y)$ encontramos

$$\frac{1}{2} \int_{-\infty - i y}^{\infty -i y} \exp \left(-z^2\right) (z+i y)^{2 n} \, dz$$

Como no hay singularidades en el integrando podemos mover el contorno de integración en $z$ al eje real que da la siguiente expresión equivalente

$$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-z^2\right) (z+i y)^{2 n} \, dz$$

Ahora en expansión $(z+i y)^{2 n}$ en una suma binómica y haciendo las integrales restantes (dejadas al lector, que conducen a $\Gamma(m+1/2)$ ) obtenemos finalmente

$$f_{p}(n,y)=\frac{1}{2} \exp \left(-y^2\right) \sum _{m=0}^n (-1)^m \Gamma \left(m+\frac{1}{2}\right) \binom{2 n}{2 m} y^{2 n-2 m}\tag{2.2}$$

Esto muestra la estructura de los polinomios.

Obsérvese que ( https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion )

$$\Gamma \left(m+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi } (2 m)!}{4^m m!}\tag{2.3}$$

§3. Fuerza bruta.

Mathematica devuelve la forma compacta

$$f_{c}(n,y)=\frac{1}{2} \Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right) \, _1F_1\left(n+\frac{1}{2};\frac{1}{2};-y^2\right)\tag{3.1}$$

Para un determinado $n$ Mathematica simplifica la expresión general exactamente a la forma polinómica que encontramos arriba.