Permítanme tratar primero el caso en el que el conjunto subyacente es infinito.
En el caso infinito, su cardenal $\beta$ es $0$ o igual a $\alpha$ dependiendo de si todos los puntos son equivalentes o no. La razón es que si la relación es no es trivial, entonces cada punto no es equivalente a algún otro punto, por lo que $\alpha\leq\beta$ y a la inversa $\beta\leq\alpha\cdot\alpha=\alpha$ por el cardenal infinito aritmética cardinal.
Para la pregunta 1, la respuesta es, por tanto, que $\kappa$ es no se determina por $\alpha$ y $\beta$ . Como has observado, $\kappa$ es el número de clases, y el mismo infinito conjunto de tamaño $\alpha$ puede dividirse en cualquier número $\kappa$ de las clases, siempre que $1\leq\kappa\leq\alpha$ .
Para la pregunta 2, cuando $\alpha$ es infinito, entonces como $\beta=\alpha$ (a menos que haya una sola clase, en la que caso $\beta=0$ ), el límite $\gamma$ no es muy útil. Pero el mayor $\kappa$ puede ser es $\alpha$ . (Esto es bajo AC; sin AC, entonces es posible que $\kappa$ podría ser estrictamente mayor que $\alpha$ como explico al final).
Del mismo modo, para la pregunta 3, el menor $\kappa$ puede ser es $1$ cuando $\beta=0$ y de otra manera, $\kappa=2$ es posible, ya que se puede dividir $\alpha$ en $2$ clases, cada una de tamaño $\alpha$ .
En el caso de los infinitos, hay algunos interesantes problemas que surgen con el Axioma de Elección en esta pregunta. Su observación de que el cociente tiene tamaño $\kappa$ parece depender de la CA, ya que las cadenas son esencialmente funciones de elección. De forma más general, se observado en una respuesta anterior de MO por Dr. Strangechoice que $\kappa$ puede ser en realidad estrictamente mayor que $\alpha$ ¡! Es decir, ¡se puede dividir un conjunto en estrictamente más clases que puntos! En ejemplo, consideremos la relación $E$ en los reales, donde $xEy$ si $x=y$ o si ambos $x$ y $y$ codificar una orden de pozo en los números naturales que tienen el mismo tipo de orden. Este es un relación de equivalencia sobre los reales, pero es consistente con ZF que no hay $\omega_1$ -secuencia de reales, y en este caso no puede haber inyección desde el $E$ -clases en los reales, ya que esto proporcionaría una $\omega_1$ -secuencia. Pero hay una inyección inversa, ya que podemos mapear inyectivamente reales a reales que no codifican bien ordenados. Así que esta es una situación en la que el número de clases de equivalencia es una cardinalidad estrictamente mayor que el conjunto subyacente.
Actualización. En el caso finito, observé por casualidad que de nuevo $\kappa$ no es una función de $\alpha$ y $\beta$ . Para ver esto, dejemos $\sim_1$ y $\sim_2$ sean dos relaciones sobre 6 puntos, la primera partiendo como $2+2+2$ con tres clases, y la segunda partiendo como $3+1+1+1$ con cuatro clases. En cada caso, tenemos $\alpha=6$ . Pero a menos que haya cometido un error de cálculo, parece que también tenemos $\beta=24$ en cada caso, ya que cada relación de equivalencia añade 3 pares equivalentes (no ordenados) además de los pares de identidad, lo que hace que haya 12 pares equivalentes (a,b), y por tanto $\beta=36-12=24$ pares no equivalentes en cada caso. Pero la primera relación tiene $\kappa=3$ y el segundo tiene $\kappa=4$ Así que $\kappa$ no está determinada por $\alpha$ y $\beta$ .
