Aquí está mi intento de prueba del título (en respuesta a un ejercicio que encontré al azar en la web) y me preguntaba si alguien podría verificarlo.
En primer lugar, en un campo finito $F$ , si $a,b\in F$ entonces $a+1=b+1$ sólo si $a=b$ . Esto se deduce de la existencia de la inversa aditiva.
A continuación, si $a_i$ son los elementos de $F$ indexado desde $1$ hasta $|F|$ entonces podemos usar lo que acabamos de encontrar para demostrar que $$a_1+a_2+a_3+...+a_{|F|}=(a_1+1)+(a_2+1)+(a_3+1)+...+(a_{|F|}+1)$$
Así que:
$$a_1+a_2+a_3+...+a_{|F|}=a_1+a_2+a_3+...+a_{|F|}+\overbrace{1+1+1+...+1}^{|F| \ times}$$ $$0=\overbrace{1+1+1+...+1}^{|F| \ times}$$
Lo último que hay que demostrar es que la declaración $$0=\overbrace{1+1+1+...+1}^{n \ times}$$
Implica que la característica divide $n$ . Pero si no lo hiciera, entonces se podría tomar la diferencia entre 1 añadido $n$ veces y 1 sumó el mayor múltiplo de la característica menor que $n$ tiempos. Esto también sería igual a 0, pero tiene menos 1's que la característica, lo que contradiría su minimidad. El resultado es el siguiente (creo).
No estoy súper seguro de que no se me haya escapado algo en mi argumento, y aunque me gusta inspirarme en el Pequeño Teorema de Fermat, sospecho que habría una forma mucho más fácil que me gustaría escuchar.
