Dejemos que $\mathbb{N}$ sea el conjunto de los números naturales. Demostrar que $2^{\mathbb{N}}$ es incontable.
Prueba: Supongamos que $2^{\mathbb{N}}$ es contable entonces $2^{\mathbb{N}}=\{A_1, A_2, A_3,\dots\}$ . Tenemos que construir el conjunto $B$ que no se encuentra en $2^{\mathbb{N}}$ . Si $k\in A_k$ entonces $k\notin B$ y si $k\notin A_k$ entonces $k\in B$ . Así, $B=\{i\in \mathbb{N}:i\notin A_i\}$ . Tenga en cuenta que $B$ no está vacía ya que de una el $A_n$ está vacío. Pero $B$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ entonces $B=A_j$ . Pero es una contradicción ya que si $j\in A_j$ entonces $j\notin B$ y $j\notin A_j$ entonces $j\in B$ $\blacksquare$
Ahora voy a demostrar rigurosamente que si $S$ es contable entonces $2^S$ es incontable.
Prueba: Desde $S$ es contable, entonces existe una función biyectiva $A: \mathbb{N} \to S$ dejando $A(n)=A_n$ . La correspondencia natural entre $2^{\mathbb{N}}$ y $2^S$ se define por $\varphi: 2^{\mathbb{N}}\to 2^S$ y $$\varphi(n_1,\dots, n_k)=(A_{n_1},\dots, A_{n_k}),$$ $$\varphi(n_1,\dots, n_k, \dots)=(A_{n_1},\dots, A_{n_k},\dots).$$ Es fácil comprobar que esta función es biyección. Demostramos que $2^\mathbb{N}$ es incontable entonces $2^S$ también es incontable.
Perdonad si este tema está repetido pero me gustaría saber si mis pruebas son correctas.
