probabilidad -una pregunta más sobre la expectativa

Question

Ayer le pregunté si hay una situación en la que $E[X]$ , $E[Y]$ definido, pero $E[X\cdot Y]$ ( $E[Z]$ ) es $\infty$ ¿o incluso divergentes?

Afirmaste que la respuesta es NO y no es elemental explicar eso sin usar teoremas que aún no conozco. Aquí está

Me gustaría ahora preguntarle si puedo asumir también que no es posible que haya $E[X\cdot Y]$ que está bien definida, pero una de las expectativam $E[X]$ ou $E[Y]$ no está definido ( $\infty$ o divergente)?

Gracias.

Answer 1

Se pueden encontrar contraejemplos (poco interesantes). Por ejemplo, para $n=1$ , 2, 3, y así sucesivamente, que $X$ asumen el valor $2^n$ con probabilidad $1/2^n$ . Sea $Y$ asumen el valor $0$ para todos $n$ . Entonces la expectativa de $X$ es infinito, pero $X\cdot Y$ es $0$ en todas partes.

Answer 2

Aquí hay ejemplos ligeramente menos degenerados de variables aleatorias positivas $X$ y $Y$ tal que $E(XY)$ existe pero $E(X)$ y $E(Y)$ no lo hagas.

Dejemos que $U$ y $V$ sea una variable aleatoria independiente tal que $U$ es Bernoulli, por ejemplo $P(U=1)=P(U=0)=1/2$ y $V$ no es integrable, por ejemplo $V\ge1$ casi seguro y $P(V\ge v)=1/v$ por cada $v\ge1$ . Sea $X=0$ y $Y=V$ si $U=0$ y $X=V$ y $Y=0$ si $U=1$ . Entonces $XY=0$ por lo que $XY$ es integrable, pero tampoco $X$ ni $Y$ es.

O bien: dejar que $Z$ sea una variable aleatoria positiva casi segura tal que ni $Z$ no $1/Z$ es integrable, por ejemplo $Z$ tiene densidad $\frac12\min\{1,1/z^2\}$ para $z$ en $(0,+\infty)$ . Sea $X=Z$ y $Y=1/Z$ . Entonces $XY=1$ por lo que $XY$ es integrable, pero tampoco $X$ ni $Y$ es. Tenga en cuenta que $Z$ puede realizarse a través de $U$ definida previamente y una variable aleatoria independiente $W$ uniforme en $(0,1)$ , ya que $Z=W$ si $U=1$ y $Z=1/W$ si $U=0$ .

Editar Mientras escribía lo anterior, el OP mencionó que $X$ y $Y$ deben ser independientes. Recordemos que si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes no negativas, la relación $E(XY)=E(X)E(Y)$ siempre se mantiene en $[0,+\infty]$ (con las obvias reglas de multiplicación más el hecho de que $0\times(+\infty)=+\infty\times0=0$ ). En particular, si $X$ y $Y$ son independientes, $X$ no es integrable y $Y$ no es casi seguramente cero, entonces $XY$ no es integrable.