"Teorema global suryectivo"

Question

Así que en Análisis Multivariante estamos haciendo Teoremas de mapeo y teníamos un problema de deberes que no he podido resolver desde hace más de un día.

$ g: \mathbb{R^p \to R^p}\,\text{belongs to class $ C^1(\mathbb R^p) $ and satisfies $ ||mathbf Dg(x)||_{pp} |le a < 1 $ for all $ x \Nen \Nmathbb R^p $. }$

donde $\|\mathbf Dg(x)\|_{pp}$ es la norma del operador de la derivada.

Ahora tenemos $f(x) = x + g(x)\, \forall x \in \mathbb R^p$ tenemos que demostrar que $f$ satisface lo siguiente: $$ \|f(x_1) - f(x_2) - (x_1 - x_2)\| \le a\|x_1 - x_2 \|$$ y que $f$ es una biyección de $ {\mathbb{R}^p \, onto \, \, \mathbb{R}^p}$

Mi intento de solución ha sido bastante inútil, he intentado utilizar el lema de aproximación y ejecutar un esquema iterativo para obtener la desigualdad pero al final no he podido,

Cualquier orientación sería muy útil

EDIT: después de escribir el problema creo que el Teorema del Valor Medio resuelve la primera parte (la desigualdad) ya que equivale a decir $$ \|g(x_1) - g(x_2)\| \le \|Dg(x)\| . \|x_1 - x_2\|$$ lo cual está garantizado por el teorema del valor medio de las dimensiones superiores, pero la parte de la biyección todavía se me escapa

Answer 1

Aquí tienes algunas pistas:

• $\mathbf{D}f = I + \mathbf{D}g$ es invertible en cada punto. Por el teorema de la función inversa, $f$ es una cartografía abierta.

• Por la desigualdad del triángulo invertido, $$ \|f(x_{1}) - f(x_{2})\| \geq \|x_{1} - x_{2}\| - \|g(x_{1}) - g(x_{2})\|. $$ Combinado con su estimación de $\|g(x_{1}) - g(x_{2})\|$ puede establecer $f$ es inyectiva. En particular, $f$ es un homeomorfismo cuando se restringe a una bola cerrada arbitraria.

• La estimación final del punto anterior (con $x_{2} = 0$ ) muestra que la esfera de radio $R$ centrado en el origen mapea fuera de la bola abierta $B$ de radio $R(1 - a)$ centrado en $f(0)$ , por lo que [*] $B$ está contenida en la imagen de $f$ . Eso te da esencialmente la subjetividad.

[*] La deducción estelar conlleva un argumento topológico. Si no tiene teoremas para manejar esto, por ejemplo, el Teorema de separación de Jordan-Brouwer En su lugar, podría intentar probar la imagen de $f$ está cerrado, puesto que ya sabe que la imagen está abierta. Sin embargo, no veo la manera de evitar la maquinaria topológica equivalente al teorema de la separación.