Contar las singularidades

Question

Es bien sabido que un campo vectorial suave en una 2-esfera debe desaparecer dos veces.

¿Cuál es la técnica general para contar las singularidades de un mapa suave entre variedades? Por ejemplo, ¿cuántas singularidades debe tener un mapa suave y sobreyectivo $\phi: V \rightarrow SU(n)$ ¿poseer? Aquí $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ . ¿Puede establecerse esto mediante algún método análogo al del campo vectorial en la esfera?

Answer 1

Con respecto a su primer caso. La sección 9 de la obra de Heinz Hopf notas de clase sobre geometría diferencial se llama: "el papel de la característica de euler en la teoría de campos vectoriales" que generaliza sus primeras afirmaciones a las superficies:

Teorema: Resumiendo la singularidad de cualquier campo vectorial en una superficie, da la característica de Euler.

Answer 2

Bueno, aquí tenemos un ejemplo algo esclarecedor. Cualquier mapa suave $f:M\rightarrow \Bbb R^n$ donde $M$ es un $m$ -tiene un número infinito de singularidades (para $n\geq 2$ y $m\geq n$ ). Si $f$ sólo tuviera un número finito de singularidades, entonces $f(M)\subset \Bbb R^n$ sería compacta con un interior no vacío y, por tanto, tendría un límite topológico infinito (para $n\geq 2$ ). Por el teorema de la función inversa, un punto límite topológico debe ser un valor crítico.

De hecho, utilizando un poco de teoría de espacios de cobertura, podemos concluir de esto que cualquier mapa de $S^2$ a una superficie orientable cerrada de género $\geq 1$ también tiene infinitas singularidades.

Genéricamente, no creo que haya que esperar que existan siquiera mapas en los que las singularidades estén aisladas, por lo que el caso en el que el objetivo es $\Bbb R$ (como en la teoría de Morse) es bastante especial.

Editar: He aquí una nueva generalización de lo anterior que debería ser fácil de completar para cualquier interesado. Dejemos que $M$ , $N$ sean variedades suaves y compactas (sin límites) con $\operatorname{dim}M \geq \operatorname{dim}N$ . Si tenemos $p(\pi_1(M))$ tiene un índice infinito en $\pi_1(N)$ para cualquier homomorfismo $p: \pi_1(M) \rightarrow \pi_1(N)$ , entonces cualquier mapa $f:M \rightarrow N$ tiene infinitas singularidades.