Pregunta Sea f(x)= x $^{3}+ax^{2}+bx+5sin^{2}x$ sea un aumento de
función $\forall$ x $\in$$ \ de la que se ha hablado. $$ Then$
(a) $a^2 -3b-15$ <0
(b) $a^2 -3b-15$ >0
(c) $a^2 -3b+15<$ 0
(d)a>0,b>0
Mi enfoque He intentado hacer el cuadrado perfecto de la derivada
$\left\{ x+\frac{a}{3}\right\} ^{2}$ + $\frac{b}{3}$ - $\frac{a}{9}-5\geq$ 0 $\left\{ sin2x\geq-1\right\} $ $\Longrightarrow$ a $^{2}$ -3b+45 $\leq$ 0
pero no da el resultado requerido
Elección $(a)$ es correcto.
Para $a,b \in \mathbb{R},\;$ dejar $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\;$ se define por $$f(x)= x^3+ax^2+bx+5\sin^2(x)$$
Supongamos que $a,b$ son tales que
$\qquad{\small{\bullet}}\;\;f\;$ es una función creciente.
$\qquad{\small{\bullet}}\;\;a^2-3b -15 \ge 0$ .
Nuestro objetivo es derivar una contradicción.
Desde $f$ es creciente, se deduce que $f'(x) \ge 0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .
Tenga en cuenta que \begin{align*} f'(x) &= 3x^2 + 2ax + b + 10\sin(x)\cos(x)\\[4pt] &= 3x^2 + 2ax + b + 5\sin(2x)\\[4pt] &=p(x) + 5 + 5\sin(2x)\\[4pt] \end{align*} donde $p(x) = 3x^2 + 2ax + b - 5$ .
Por la fórmula cuadrática, $p$ tiene raíces $r_1,r_2$ dado por \begin{align*} r_1 &= \frac{-a - \sqrt{a^2 + 3b + 15}}{3}\\[4pt] r_2 &= \frac{-a + \sqrt{a^2 + 3b + 15}}{3}\\[4pt] \end{align*} Desde $a^2 - 3b-15 \ge 0$ obtenemos $a^2 - 3b + 15 \ge 30$ .
De ello se desprende que $r_1,r_2$ son números reales distintos, y $p(x) < 0$ , para $x \in (r_1,r_2)$ . \begin{align*} \text{Also,}\;\;r_2 - r_1 &= 2\left( \frac {\sqrt{a^2 + 3b + 15}} {3} \right)\\[5pt] &\ge \frac{2\sqrt{30}}{3}\\[5pt] & > \frac{2\sqrt{25}}{3}\\[5pt] &=\frac{10}{3}\\[5pt] & > \pi\\[4pt] \end{align*} Desde $r_2-r_1 > \pi$ se deduce que para algún número entero $n$ tenemos $r_1 < \frac{3\pi}{4} + n\pi < r_2$ .
Entonces, dejar que $t = {\large{\frac{3\pi}{4}}} + n\pi$ obtenemos \begin{align*} f'(t) &= p(t) + 5 + 5\sin(2t)\\[4pt] &=p(t) + 5 + 5\sin\left({\small{\frac{3\pi}{2}}} + 2n\pi\right)\\[4pt] &=p(t) + 5 + 5\sin\left({\small{\frac{3\pi}{2}}}\right)\\[4pt] &=p(t) + 5 + 5(-1)\\[4pt] &=p(t)\\[4pt] &< 0\\[4pt] \end{align*} contradicción.
De ello se desprende que la elección $(a)$ es correcto, como se afirma.
Si se da que sólo un de las opciones $(a),(b),(c),(d)$ es correcta, entonces como $(a)$ es correcto, hemos terminado.
Si tenemos que demostrar que la elección $(a)$ es el sólo elección correcta, entonces tenemos más trabajo que hacer
Para invalidar las elecciones $(b)$ y $(d)$ Utiliza los valores $a=0,\,b=6$ .
Entonces, para todos los $x \in \mathbb{R}$ , \begin{align*} f'(x)&=3x^2 + 2ax + b + 5\sin(2x)\\[4pt] &=3x^2 + 6 + 5\sin(2x)\\[4pt] &\ge 3x^2 + 6 + 5(-1)\\[4pt] &= 3x^2 +1\\[4pt] & > 0\\[4pt] \end{align*} así que $f$ es una función creciente.
Pero entonces
Para invalidar la elección $(c)$ , dejemos que \begin{align*} a=&{\small{\frac{\pi}{4}}}\\[4pt] b=&{\small{\frac{a^2}{3}}} +\left( 5 - {\small{\frac{1}{10}}} \right) \\[4pt] \end{align*} y verificar que $f'(x) > 0\;$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .
La verificación más sencilla es la gráfica (es decir, la gráfica $f',\;$ y ver que el gráfico se encuentra totalmente por encima del $x$ -eje).
También se puede verificar algebraicamente, con un poco más de trabajo.
Omitiré la verificación algebraica por ahora, pero proporcionaré los detalles (algo desordenados), si se solicita.
Así, para los valores de $a,b,\;$ como se ha indicado anteriormente, $f$ es una función creciente, pero $$a^2 - 3b + 15 = {\small{\frac{3}{10}}} > 0$$ por lo tanto, la elección $(c)$ no lo hace.
Por lo tanto, la elección $(a)$ es la única opción correcta.
Al diferenciar la función obtenemos \begin{align*} 3x^2+2ax+b+10\sin(x)\cos(x)=3x^2+2ax+b+5\sin(2x) \end{align*} Ahora bien, como la función debe ser creciente, su diferencial debe ser en todas partes no negativa. Pero si es en todas partes no negativa, también lo será \begin{align*} 3x^2+2ax+b-5 \end{align*} como $\sin(2x)$ está entre -1 y 1. Así que si ahora resolvemos \begin{align*} 3x^2+2ax+b-5=0 \end{align*} obtenemos \begin{align*} x=\frac{-2a\pm \sqrt{4a^2-4\cdot 3(b-5)}}{6} \end{align*} Como debe ser en todas partes no negativo, sólo se permite tener como máximo 1 solución o ninguna solución, por lo que el argumento raíz cuadrada debe ser negativo: \begin{align*} 4a^2-12b+60\leq 0 \end{align*} lo que equivale a \begin{align*} a^2-3b+15\leq 0 \end{align*}
Me falta un minúsculo, pero creo que este método debería funcionar, espero que esté claro.
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