Anillo incontable con característica finita

Question

¿Algún buen ejemplo de estos? Lo contable es fácil, y lo incontable es fácil si no me importa que la prueba sea constructiva, pero realmente quiero algo con lo que pueda tener un control sólido. Así que nada que requiera elección.

Answer 1

El anillo $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\mathbb{N}$ es incontable y tiene la característica $n$ .

Answer 2

Las álgebras booleanas se pueden formar a partir de los subconjuntos de cualquier conjunto y tienen característica $2$ .

Así que toma los subconjuntos de los números naturales, que son incontables. La adición es la unión disjunta y la multiplicación es la intersección. La identidad aditiva es el conjunto vacío, y la identidad multiplicativa es $\mathbb N$ .

Y se puede hacer lo mismo con subconjuntos de los números reales.

Answer 3

Fijar un número entero positivo $n$ .

Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío, y que $R_X = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[\{t_x\} \mid x \in X]$ sea el anillo de polinomios sobre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ en un conjunto de indeterminados indexados por $X$ . Entonces

$\# R_X = \max (\# X, \aleph_0)$ .

Así, para cada cardinal infinito $\kappa$ hay un anillo $R$ de cardinalidad $\kappa$ y la característica $n$ . Por otro lado, dejemos que $m \mid n$ . Entonces

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$

es un anillo de característica $n$ y el orden $mn$ . Dado que cualquier anillo $R$ de la característica $n$ admite $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ como un subring, si $R$ es finito entonces su orden debe ser divisible por $n$ es decir, de la forma $mn$ para algunos $m \in \mathbb{Z}^+$ . Así, hemos determinado todas las cardinalidades posibles de los anillos de característica $n$ .

Obsérvese que el caso infinito era en realidad más fácil que el caso finito. Aquí hay un principio general. Teniendo la característica $n$ es expresable como una frase en el lenguaje (contable) de los anillos. Además, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[t]$ es un anillo infinito de característica $n$ . Se deduce entonces de la Teorema de Lowenheim-Skolem que hay características $n$ anillos de todas las cardinalidades infinitas. Sin embargo, este resultado no dice nada sobre las cardinalidades de los modelos finitos.