Como comentó Travis, la solución de $$g(x)=f'(x)=\cos(x)+2x=0$$ no tiene una solución de forma cerrada y sólo los métodos numéricos podrían dar una respuesta. Lo interesante es que $g'(x)=f''(x)$ es siempre positivo; así que $g(x)$ es una función creciente.
Para encontrar la raíz, se podría utilizar algo tan sencillo como el método de Newton: partiendo de una conjetura $x_0$ de la solución, el método la actualizará según $$x_{k+1}=x_k-\frac{g(x_k)}{g'(x_k)}$$ Para el caso que consideramos aquí, el esquema iterativo corresponde a $$x_{k+1}=\frac{x_k \sin (x_k)+\cos (x_k)}{\sin (x_k)-2}$$ Buscando un punto de partida, podemos observar que $g(0)=1$ y $g(-\frac{\pi}{2})=-\pi$ Así que vamos a hacer una conjetura $x_0=-\frac{\pi}{4}$ El método Newton genera entonces los siguientes iterados : $-0.466353$ , $-0.450231$ , $-0.450184$ que es la solución para seis cifras significativas.
Supongo que tienes en las manos lo que se requiere y estoy seguro de que puedes sacar de aquí.
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Hay otro enfoque para la solución del problema. Probando los valores clásicos para $x$ ( $-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{6}$ ), podría notar que $-\frac{\pi}{6}$ es el valor que hace que $g(x)$ el más cercano a $0$ .
Así pues, podríamos aproximar la propia función mediante su serie de Taylor centrada en $x=-\frac{\pi}{6}$ y obtener $$f(x) \approx\frac{1}{36} \left(\pi ^2-18\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{3}\right) \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{5}{4} \left(x+\frac{\pi }{6}\right)^2+O\left(\left(x+\frac{\pi }{6}\right)^3\right)$$ que es sólo una función cuadrática. El mínimo se produce entonces para $$x=-\frac{1}{30} \left(6 \sqrt{3}+\pi \right)\approx -0.45113$$ y, para este valor $$f(x)=-\frac{1}{180} \left(117-12 \sqrt{3} \pi -\pi ^2\right)\approx -0.232409$$ mientras que el enfoque riguroso localiza el mínimo en $x\approx -0.450184$ para el que el correspondiente $f(x) \approx -0.232466$ .
