Desigualdad por diferencia de potencias

Question

Quiero demostrar que la desigualdad

$$2^{1-p}|x-y |^p \leq \left|\, x \vert x \vert^{p-1} - y \vert y \vert^{p-1} \,\right|$$

es válida para cada $x,y \in \mathbb{R}$ y cada $p \geq 1$ . Encontré esto en mi documento de análisis, pero lamentablemente no pude demostrarlo. Intenté usar la convexidad de la función $x \mapsto \vert x \vert^p$ y también intentó utilizar una representación integral. ¿Puede alguien darme una pista o un enlace donde se muestre esto? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Hay básicamente dos casos:

• $x>0>y$ , en cuyo caso se sustituye $y$ por $-y$ y reescribir la desigualdad como $$\dfrac{x^p+y^p}{2} \geq \left (\dfrac{x+y}{2} \right )^p,$$ donde $x,y>0$ . Esto se deduce del hecho de que el gráfico de $f(x)=x^p$ es cóncavo hacia arriba.

• $x>y>0$ . En este caso, reescriba la desigualdad como $$\dfrac{x^p-y^p}{2} \geq \left (\dfrac{x-y}{2} \right )^p,$$ pero una desigualdad más fuerte se mantiene en este caso: $$x^p-y^p \geq (x-y)^p \geq 2(x-y)^p/2^p.$$