Problema del producto infinito: $\sum p_n< \infty$ implica $\prod (1-p_n)>0$

Question

Demostrar que si $0\le p_n< 1$ y $S=\sum p_n< \infty$ entonces $\prod (1-p_n)>0$ . Pista dada: Primero demuestre que si $S<1$ entonces $\prod (1-p_n)\ge 1-S$ .

Intento: Pude mostrar la pista usando la configuración de recursión $A_n=\prod_{i=1}^{n}(1-p_i)$ re expresión la $\prod (1-p_n)$ como $1-S+\sum_{n_1, n_2=1,n_1<n_2 }^{\infty} p_{n_1}p_{n_2}-..... $ y observó que cada término posterior es menor que el anterior, por lo que $\prod (1-p_n)\ge 1-S$ que es $>0$ si $S<1$ pero no estoy seguro de cómo ampliarlo a $S\ge1$ .

Answer 1

Como $\sum\limits_n p_n < \infty$ , $N$ existe tal que $S_{N}=\sum\limits_{n> N} p_n <1$ . Así que $\prod\limits_{n> N} (1-p_n)> 1-S_{N}>0$ .

$$\prod\limits_n(1-p_n)=\left(\prod\limits_{n \leq N}(1-p_n)\right) \times \left(\prod\limits_{n> N} (1-p_n)\right) >0 $$