Por qué $f$ es un automorphism?

Question

Deje $G$ ser un grupo y $f: G\rightarrow G$ es una función tal que para cualquier $x,y\in G$ hemos $$f(xf(y))=f(x)y.$$ Entonces demostrar que $f$ es un automorphism de $G$.

Answer 1

Mediante el establecimiento $x=1$ vemos que $f\circ f$ es el mapa $y\mapsto f(1)y$, que es bijective. Por lo tanto, $f$ es también bijective.

De $f(f(1))=f(1)$ y injectiveness tenemos $f(1)=1$. De ello se desprende que $f\circ f$ es el mapa de identidad (en otras palabras, $f=f^{-1}$). Queda demostrado que $f$ es un homomorphism.

Para todos $a,b\in G$, $f(ab)=f(af(f(b)))=f(a)f(b)$.