Invariantes birracionales y grupos fundamentales

Question

Al reflexionar ce MO y los esfuerzos de la gente por responderla, y recordando también algo que aprendí en mi juventud sobre el uso de las ideas de la teoría de Morse para demostrar algunos resultados de Lefschetz en el caso complejo, parece que he aprendido dos cosas -- cosas que supongo que son absorbidas en la cuna por los que estudian geometría algebraica en lugar de aprenderla por ósmosis -- o quizás no las he entendido bien. En fin:

(1) Al inflar una superficie en un punto liso no cambia el grupo fundamental, y (por lo tanto ) el grupo fundamental de una superficie proyectiva lisa es un invariante birracional.

(2) Superficies en $\mathbb P^3$ son simplemente conectadas, y más generalmente para un conjunto $X\subset\mathbb P^n$ definida por una única ecuación homogénea de grado $>0$ la pareja $(\mathbb P^n,X)$ es al menos $(n-1)$ -conectado. Es decir, los grupos de homotopía relativa y por tanto los grupos de homología relativa desaparecen hasta la dimensión $n-1$ .)

(Esto es todo sobre los números complejos).

¿Es esto correcto? Y, partiendo de (1), ¿cuáles son otras afirmaciones sencillas sobre invariantes de la teoría de la homotopía que son invariantes birracionales? ¿Y qué es lo primero que hay que saber sobre los invariantes birracionales que no provienen de la topología?

EDITAR Me gustaría poder aceptar más de una respuesta.

Answer 1

Me gustaría mencionar un invariante homotópico más de las variedades proyectivas lisas que también es un invariante birracional. Si $X$ es una variedad proyectiva lisa, entonces el subgrupo de torsión $T(X)$ de ${\rm H}^3(X,\mathbb{Z})$ es un invariante biracional. Esto se explica en el bello artículo "Some elementary examples of unirational varieties which are not rational" de Artin-Mumford, que comienza exactamente esbozando un enfoque "homotópico" para demostrar que existen tres variedades uniracionales que no son racionales. Su criterio homotópico es que las variedades racionales $X$ tienen un grupo trivial $T(X)$ y construyen variedades uniracionales con dos torsiones no triviales en dicho grupo, mostrando que son ejemplos de variedades uniracionales no racionales.

Por último, para las superficies la cantidad $K^2+\rho$ es un invariante biracional, donde $K^2$ es la auto-intersección de la clase divisora canónica en $X$ y $\rho$ es el rango del grupo N\'eron-Severi de $X$ ). Esto no es demasiado profundo, ya que es inmediato saber que un mapa birracional de superficies es una composición de expansiones y reducciones de puntos suaves (¡lo que para las superficies es bastante fácil!) y la cantidad anterior es obviamente invariante bajo una expansión. La razón para mencionarlo es que el grupo de N\'eron-Severi puede definirse en términos de la teoría de Hodge, que, aunque no es totalmente homotópica, tiene ciertamente un aspecto homotópico. Además, muchos invariantes biracionales se definen utilizando estructuras de Hodge, ¡así que me pareció útil señalarlo!

Answer 2

1. Verdadero ya que topológicamente volar un punto es tomar una suma conectada con $\overline{ \mathbf{P}^2(\mathbf{C})}$ .

2. Es cierto para superficies lisas (en general, para hipersuperficies proyectivas lisas, pero basta con demostrarlo para superficies; intentaré dar más detalles un poco más adelante). Si $X$ es una hipersuperficie lisa de $\mathbf{P}^n$ entonces además el mapa de homología inducido por la inclusión es una iso en grado $\leq n-2$ y es suryente en grado $n-1$ (esto se desprende del teorema del hiperplano de Lefschetz, como se indica, por ejemplo, en Griffiths-Harris, capítulo 1).

upd Aquí se presenta un esquema de la prueba del hecho de que las hipersuperficies proyectivas lisas son simplemente conectadas. Si tenemos un haz de líneas holomórfico positivo $L$ en una variedad analítica compleja $M$ (es decir, un haz de líneas cuya clase de Chern está representada por $-i$ veces una combinación lineal positiva de $dz_j\wedge d\bar{z}_j$ ) y una sección lisa $s$ de $L$ entonces podemos dotar al haz de una métrica hermitiana de manera que la curvatura será $-2\pi i$ veces el representante "positivo" de la clase de Chern. Podemos entonces considerar la función $\log |s|^2$ en el complemento de una vecindad tubular del lugar cero $V$ de $s$ . Un cálculo local muestra que en cada punto singular el hessiano de esta función tiene al menos $\dim M$ valores propios negativos. Es decir $M$ es equivalente en homotopía a $V$ con algunas celdas de dimensión $\geq n$ que se le atribuye. Para más detalles, véase Griffiths-Harris, capítulo 1, teorema del hiperplano de Lefschetz.

Answer 3

El artículo de Keum y Zhang

"Grupos fundamentales de superficies K3 abiertas, superficies de Enriques y 3pliegues de Fano", Journal of Pure and Applied Algebra vol. 170

proporciona algunas respuestas a la pregunta de Tom: "¿Qué sucede con el grupo fundamental de una variedad singular al eliminar los puntos singulares?"

Parece que el grupo fundamental de la parte lisa puede ser bastante complicado también en situaciones sencillas. Por ejemplo, uno de los resultados del artículo es el siguiente:

"TEOREMA. Sea X un $K3$ con, en el peor de los casos, las singularidades de Du Val (entonces X sigue siendo simplemente conectada), y dejemos que $X^0$ sea su parte lisa. El número $c$ =#(Sing $X$ ) está limitada por $16$ y si $c=16$ entonces $\pi_1(X^0)$ es infinito".

Así, dada, por ejemplo, una superficie cuaternaria $X \subset \mathbb{P}^3$ con $16$ nodos (una superficie de Kummer) tenemos

$\pi_1(X)=\{1\}$ pero $\pi_1(X^0)$ ¡es infinito!

Esto se deduce del hecho de que $X^0$ tiene un étale $\mathbb{Z}_2$ -cubierta $Y^0 \to X^0$ , donde $Y^0$ es una superficie abeliana menos 16 puntos.

Para valores menores de $c$ El grupo $\pi_1(X^0)$ es finito, pero no es trivial en general.

En una dimensión superior, existe lo siguiente

"CONJUNTO". Dejemos que $V$ ser un $\mathbb{Q}$ -Fano $n$ -doble. Entonces el grupo fundamental topológico $\pi_1(V^0)$ de la parte lisa $V^0$ de $V$ es finito".

(una variedad normal $V$ con lo peor de las singularidades terminales es $\mathbb{Q}$ -Fano si, por definición, el divisor anticanónico $−K_V$ es $\mathbb{Q}$ -Cartier y amplio).