¿Cuándo son "isotópicas" dos formas simplécticas?

Question

He estado merodeando por MathOverflow durante un mes, leyendo preguntas y respuestas y comentarios, y creo que ya es hora de que yo mismo haga una pregunta, así que aquí hay una que me ha interesado durante mucho tiempo.

Supongamos que $M$ es una variedad lisa compacta de dimensión par con dos formas simplécticas $\omega_0$ y $\omega_1$ Cuándo son "isotópicas", es decir, cuándo existe una familia de diffeos de 1 parámetro $\phi_t$ de $M$ partiendo de la identidad, tal que $\phi_1^*(\omega_0) = \omega_1$ ? Por supuesto, una condición necesaria es que $\omega_0$ y $\omega_1$ deben definir las mismas clases de cohomología bidimensional. ¿Es esto también suficiente? Se puede hacer la misma pregunta para las formas de volumen. Se lo pregunté a Juergen Moser hace veinticinco años, y él me respondió con una elegante prueba de suficiencia para el caso de los elementos de volumen unos meses más tarde en un conocido artículo en TAMS. En ese artículo comenta lo siguiente:

"La declaración relativa a las 2 formas también fue sugerida por R. Palais. Por desgracia, parece muy difícil decidir cuándo dos 2 formas cerradas pertenecen a la misma clase de cohomología y son no degeneradas pueden ser deformadas homotópicamente la una en la otra dentro de la clase de estas formas diferenciales".

Así que mi pregunta es si se ha hecho algún progreso en esta cuestión. Buscando aquí y en Google no ha aparecido nada. ¿Alguien sabe si hay algún progreso?

Answer 1

Se sabe, desde hace tiempo, que existen ejemplos de formas simplécticas en la misma clase de cohomología que no son isotópicas. No recuerdo si existe tal ejemplo en la dimensión $4$ pero en la dimensión $6$ hay diferentes ejemplos. Aquí hay un ejemplo construido por Dusa McDuff:

Dejemos que $X$ ser un producto $S^2\times S^2\times T^2$ ( $T^2$ es un toroide $(\mathbb R/2\pi\mathbb Z)^2$ con coordenadas angulares $(\psi,\gamma)$ ) y $\omega$ es una suma $\omega_1\oplus\omega_2\oplus\omega_3$ de las formas de área en los factores. Suponemos que las áreas totales del primer y del segundo factor coinciden. Consideremos el mapa $\varphi \colon X \to X$ , donde $\varphi (x,y,\psi,\gamma) = (x, T_{x,\psi}(y),\psi,\gamma)$ , donde $T_{x,\psi}$ es la rotación alrededor de $x$ en el ángulo $\psi$ . A continuación, los formularios $\omega$ y $\varphi^*(\omega)$ definen la misma clase de cohomología y no son isotópicas.

Además, los formularios $\omega$ y $\varphi^*(\omega)$ podrían estar unidos por un camino en un espacio de estructuras simplécticas.

Hay una encuesta que contiene la declaración de este resultado y referencias útiles: http://www.math.sunysb.edu/~dusa/princerev98.pdf

Answer 2

Hay una manera barata de encontrar formas simplécticas cohomólogas pero no isotópicas (de hecho, no equivalentes a la deformación): se empieza con una variedad simpléctica y se retira la forma simpléctica a través de un difeomorfismo que altera las clases de Chern de una estructura casi compleja domesticada.

Como esto pone de manifiesto, hay un conjunto de cuestiones interrelacionadas sobre la isotopía, la deformación y el difeomorfismo para las variedades simplécticas (cerradas). (Nota: Una deformación es un camino en el espacio de las formas simplécticas; por el lema de Moser, dicho camino es una isotopía si fija la clase simpléctica). En cuatro dimensiones:

$\bullet$ McMullen y Taubes encontró un 4-manifold $X$ con dos formas simplécticas $\omega_0$ y $\omega_1$ no son equivalentes bajo la relación generada por la deformación y el difeomorfismo. Demuestran mediante la teoría de Seiberg-Witten que las primeras clases de Chern de estas estructuras están en órbitas diferentes del grupo de difeomorfismo.

$\bullet$ Sobre los 4 manifolds simplécticos $X$ con curvas holomorfas "suficientes" (por ejemplo, las difeomorfas a una ampliación de una superficie racional o compleja reglada), cualquier deformación de estructuras simplécticas en la misma clase de cohomología puede ser homotopada rel extremos a una isotopía ( McDuff ). La modificación utiliza la "inflación", una suma simpléctica topológicamente trivial de $X$ (a lo largo de un divisor simpléctico $D$ ) con una superficie reglada. Los geómetras algebraicos llamarían a esto una deformación del cono normal de $D$ .

$\bullet$ No se sabe si las formas simplécticas cohomólogas y equivalentes a la deformación en un manifiesto de 4 dimensiones pueden dejar de ser isotópicas (contrasta con la imagen de 6 dimensiones pintada en la respuesta de Petya).

$\bullet$ En $\mathbb{CP}^2$ , es natural adivinar que toda forma simpléctica se deforma a más o menos la estándar. De esto podríamos deducir que $\pi_0 Diff(\mathbb{CP}^2)=\mathbb{Z}/2$ . Este es un problema abierto (no se deduce de los notables resultados sobre $\mathbb{CP}^2$ encontrado por Gromov y por Taubes).

$\bullet$ Se desconoce si dos formas simplécticas cohomólogas en la misma 4manifold, con la misma clase canónica, son equivalentes a la deformación (y mucho menos simplectomorfas). Donaldson esbozó un intrigante programa para trabajar hacia resultados positivos en este problema. Implica el desarrollo de un método de continuidad para una ecuación elíptica relacionada con la que aparece en la prueba de Yau de la conjetura de Calabi; tengo entendido que Weinkove ha hecho algunos progresos al respecto.

Answer 3

Sólo una reformulación de la pregunta de Dick: ¿Cómo describir las órbitas de la componente de identidad del grupo de difeomorfismos de una variedad compacta, actuando naturalmente sobre el subespacio de clases de cohomología de sus formas simplécticas?

Answer 4

En el libro de Hofer y Zehnder Invariantes simplécticas y dinámica hamiltoniana tienen una demostración del teorema de Darboux que utiliza un argumento de deformación para pasar de una forma simpléctica $\omega_0$ a un simpático $\omega_1$ en el caso de $R^{2n}$ una familia de un parámetro $\phi_t$ se encuentra resolviendo una EDO. Aquí está, en la página 10 (no estoy seguro de si esto ayuda también para el caso de una variedad compacta M)

http://books.google.it/books? id=lKDFmGLU54sC&printsec=frontcover&dq=symplectic+invariantes+y+dinámica+hamiltoniana&source=bl&ots=RrcKPkxMY4&sig=BY1fMnWbOBjC2lmG2lRMkL_3iME&hl=it&ei=VZ9WTO- iLIWWsQamu_zhAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBoQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false