Un disco muy pequeño se enrolla alrededor de un disco circular más grande de radio $R$ . Está unido a ella por una cuerda de longitud l que permanece tensa. ¿Qué distancia recorre antes de chocar con el disco mayor de radio $R$ ? He estimado que es $2\pi(l-R)$ basándose en la suposición de que una espiral es un poco como una serie de círculos concéntricos.
Respuestas
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Sahas Katta
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Como se indica en esa página de física, lo más fácil es considerar la longitud y el ángulo del trozo de cuerda recto y tenso. Si el ángulo $\theta$ comienza en $0$ entonces al enrollar la cuerda se obtiene un ángulo máximo $L/R$ (en radianes). La longitud del trozo de cuerda recto disminuye linealmente en $\theta$ Así que es $$L(\theta) = L - R \theta.$$ Entonces la distancia que recorre el extremo de la cuerda viene dada por $$ \int_0^{L/R}L(\theta) \mathrm d \theta = \int_0^{L/R}(L - R \theta) \mathrm d \theta = \frac{L^2}{2R}.$$
Esta fórmula también puede obtenerse a partir de una parametrización explícita de la trayectoria y calculando su longitud. De nuevo expresada en el ángulo $\theta$ la trayectoria puede venir dada por $$\begin{eqnarray} x(\theta) & = & R \sin(\theta) + (L - R \theta) \cos(\theta)\\ y(\theta) & = & -R \cos(\theta) + (L - R \theta) \sin(\theta) \end{eqnarray}$$
El integrando de la integral de la longitud de la trayectoria se simplifica bastante ya que $$\dot x(\theta)^2 + \dot y(\theta)^2 = (L - R \theta)^2.$$
Otra forma de sumar las circunferencias de los círculos decrecientes es utilizar las fórmulas $2\pi R = \frac LN$ y $N\pi = \frac{L}{2R},$ ambas derivadas de $N = \frac{L}{2\pi R}.$
\begin{align} \left(L - \frac LN\right)2\pi &+ \left(L - 2\frac LN\right)2\pi + \left(L - 3\frac LN\right)2\pi + \cdots \\ &= \left(1 - \frac 1N\right)2\pi L + \left(1 - \frac 2N\right)2\pi L + \left(1 - \frac 3N\right)2\pi L + \cdots \\ &= \left(N - 1\right)\frac{2\pi L}{N} + \left(N - 2\right)\frac{2\pi L}{N} + \left(N - 3\right)\frac{2\pi L}{N} + \cdots \\ &= \left((N - 1) + (N - 2) + (N - 3) + \cdots + 1\right)\frac{2\pi L}{N} \\ &= \left(\frac{N(N - 1)}{2}\right)\frac{2\pi L}{N} \\ &= (N - 1)\pi L \\ &= N\pi L - \pi L \\ &= \frac{L^2}{2R} - \pi L. \\ \end{align}
Pero esto es una subestimación, porque al principio el extremo de la cuerda está trazando una trayectoria de longitud aproximada $L \theta$ , donde $\theta$ es el cambio en el ángulo de la cuerda, aunque usted ha asumido que es sólo $\left(1 - \frac 1N\right)L \theta.$ Se podría obtener una mejor aproximación envolviendo la cadena alrededor de un polígono regular de $k$ lados y luego dejar que $k$ aumentan hasta el infinito (calculando efectivamente la integral de la longitud de la trayectoria a medida que la cuerda envuelve el círculo); el $\pi L$ término que luego abandona.
Su respuesta también daría la misma suma, excepto por un par de errores. El primer error es que $2\pi \times 2\pi = 4\pi^2$ pero usted escribió $4\pi.$ El segundo error está en el último paso. Tenga en cuenta que $2\pi N = \frac LR$ y $2\pi RN = L$ pero $\pi(N + 1) = \frac{L}{2R} + \pi,$ por lo que el resultado debería ser \begin{align} 2\pi NL - 2\pi^2 RN(N+1) &= \frac{L^2}{R} - L\left(\frac{L}{2R} + \pi\right) \\ &= \frac{L^2}{R} - \frac{L^2}{2R} - \pi L \\ &= \frac{L^2}{2R} - \pi L. \end{align}
Expert Nonexpert
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Se ha actualizado con las correcciones indicadas en la respuesta aceptada.
Suponiendo que $L>>R$ .
Longitud de la trayectoria aproximada suponiendo que la espiral es aproximadamente una suma de círculos con circunferencia $2\pi R$ para cada revolución de la espiral.
Supongamos que $N=\frac{L}{2\pi R}$ es un número entero en unidades adecuadas para el problema particular.
$\text{sum of diminishing circle circumferences}=$
$(L-2\pi R)2\pi + (L-2\pi R -2\pi R)2\pi +...$
$=2\pi NL - 4\pi^2 R (1+2 +3+...N)=2\pi NL - 4\pi^2 R(N(N+1))/2$
$=\frac{L^2}{R} - 4\pi^2 R\frac{(\frac{L^2}{(2\pi R)^2}+\frac{L}{2\pi R}))}{2}$
$=\frac{L^2}{R} - (\frac{L^2}{2R}+\pi L))$
$=\frac{L^2}{2R}-\pi L$
