$\frac{4^p - 1}{3}$ es un pseudoprima de Fermat con respecto a 2

Question

Tengo que demostrar que $n = \frac{4^p - 1}{3}$ es un pseudoprima de Fermat con respecto a $2$ cuando $p \geq 5$ es un número primo. He demostrado que $n$ no es primo porque $4^p - 1 = (2^p-1)(2^p+1)$ y $(2^p + 1)$ es divisible por $ 3$ . Pero ahora no puedo mostrar que $2^{n-1} \equiv 1\bmod n$ .

He calculado que $2^{n-1} = 2^{(2^p + 2)(2^p-2)/3}$ pero no sé si puedo deducir algo de esto.

Answer 1

$n=\dfrac{4^p-1}3=\dfrac{2^{2p}-1}3,$ así que $n$ divide $2^{2p}-1$ .

Además, $2p$ divide $2\times\dfrac{(2^{p-1}-1)}3\times{(2^{p}+2)}=\dfrac{2^{2p}-4}3=n-1.$

Por lo tanto, $n$ divide $2^{n-1}-1$ .