Durante el aprendizaje del álgebra lineal elemental se desarrolla una gran intuición geométrica en $\mathbb R^n$ . Ayuda a ver el bosque por los árboles y conduce a través de las pruebas.
Después de la reunión complejización Me he dado cuenta de que mi antigua intuición no parece funcionar en $\mathbb C^n$ . Por ejemplo, si $U$ es un subespacio de $\mathbb C^n$ ¿Qué es? $\bar U$ ? ¿Qué relación tiene con $U$ ? etc.
¿Hay alguna forma práctica de pensar en $\mathbb C^n$ ?
En $\mathbb{R}^n$ , un vector $v$ puede considerarse como una lista de componentes $v_i$ . Cada componente tiene una magnitud, que es un número real positivo $|v_i|$ y una dirección, que es una de $1$ y $-1$ .
En $\mathbb{C}^n$ , un vector $v$ es igualmente una lista de componentes $v_i$ . Cada componente tiene una magnitud $|v_i|$ y una dirección, que ahora puede ser cualquier ángulo entre $0$ y $2\pi$ y no sólo las direcciones positivas y negativas.
En cierto sentido, esto significa un elemento de $\mathbb{C}^n$ es un vector de vectores.
La norma de un vector en $\mathbb{C}^n$ es como la norma de un vector en $\mathbb{R}^n$ : se suma la magnitud al cuadrado de cada componente y se saca la raíz cuadrada. Al igual que en $\mathbb{R}^n$ donde se ignora el ángulo $1$ o $-1$ en el cálculo de la norma, aquí se ignora el argumento del número complejo.
El conjugado de un vector se forma invirtiendo el ángulo en cada componente.
Multiplicar por un número complejo $re^{i \theta}$ escala el vector en una cantidad determinada $r$ y gira cada componente en algún ángulo $\theta$ . Esto es lo mismo que en el caso real, donde la multiplicación por $2$ y $-2$ son esencialmente iguales hasta el cambio de signo de los componentes.
De todos modos, así es como yo lo veo. Espero que le resulte útil.
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