¿Existe una clasificación sencilla de los espacios máximamente simétricos?

Question

Por espacio de máxima simetría me refiero a una (pseudo) variedad riemanniana de dimensión $n$ que tiene $n(n+1)/2$ campos vectoriales de Killing linealmente independientes. Creo recordar que sólo hay tres tipos, siendo uno de ellos el espacio de Minkowski, y otro el espacio de Sitter. Y el tercero probablemente sea la esfera. Pero no estoy muy seguro de que esto sea cierto en cualquier dimensión. ¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esta cuestión? También agradecería mucho las referencias.

EDIT: Aunque la pregunta de arriba podría haberlo sugerido (porque no estaba pensando bien), no pretendo centrarme sólo en las variedades lorentzianas. De hecho, como se menciona en los comentarios, la esfera que menciono arriba es riemanniana, mientras que las otras dos variedades mencionadas son lorentzianas, así que no tenía mucho sentido por mi parte, porque claramente hay más geometrías que tres (en al menos 2 dimensiones), pensando en el espacio euclidiano.

Answer 1

Es cierto que sólo hay tres (clases) de máximos simétricos geometrías , clasificadas por su curvatura. Pero hay más espacios-tiempo que eso. Si eliges uno de los tres espacios de máxima simetría $(\mathbb R^n, \eta)$ (espacio de Minkowski), $(\mathbb R \times S^{n-1}, d)$ (espacio de Sitter) y $(\mathbb R^n, a)$ (espacio anti-de Sitter), entonces considera cualquier subgrupo $\Gamma$ del grupo de simetría que actúa sobre esos espaciotiempos de forma suave, libre y adecuada, entonces el espaciotiempo $M / \Gamma$ es también un espaciotiempo de máxima simetría.

Hay muchos espacios-tiempo de este tipo. Existe toda una lista de ellos para el espacio de Minkowski: el cilindro temporal y el cilindro espacial, ambos con topología $\mathbb R^n / \mathbb Z$ el espaciotiempo del toro $\mathbb R^n / \mathbb Z^n$ el espaciotiempo de la botella de Klein, el espacio de Misner, los espacios de la franja de Moebius, el cilindro no orientable en el tiempo $(\mathbb R^n / \mathbb Z) / (I \times T)$ y así sucesivamente.

También existen muchas variantes del espacio anti-de Sitter (en realidad lo que clásicamente se denomina AdS no es lo que te he dicho, sino uno de esos cocientes). El AdS clásico tiene la topología $\mathbb R^{n-1} \times S^1$ . Hay variantes de AdS que no son causales, orientables, orientables en el tiempo, etc.

Lo mismo ocurre con el espacio de Sitter, que incluye entre sus topologías famosas los universos poliédricos, utilizando uno de los grupos de rotación discretos.

Editar : Como señala A.V.S., esos espacios no son máximamente simétricos, sino sólo localmente maximalmente simétricos (no son rotacionalmente invariantes en toda la variedad). La clasificación completa de los espacios-tiempo de curvaturas constantes se puede encontrar en Wolf (capítulo 11), y es la siguiente :

Todas las variedades pseudo-riemannianas isotrópicas homogéneas conectadas (de firma $(1, n-1)$ ) se clasifican así :

• Si el colector es plano, entonces $M$ es isométrica con respecto a $\mathbb{R}^{1, n-1}$ (teorema 11.6.8).
• Si el colector es de curvatura constante $K > 0$ entonces es una cubierta de $S^{1, n-1} / \{ \pm I\} = \mathbb{R}^1 \times S^{n-1} / \{ \pm I\}$ (teorema 11.6.7)
• Si el colector es de curvatura constante $K < 0$ entonces es una cubierta de $\mathbb{H}^{1, n-1} / \{ \pm I\} = S^1 \times \mathbb{R}^{n-1} / \{ \pm I\}$ (teorema 11.6.7)

Estos corresponden al espacio de Minkowski, a los cocientes del espaciotiempo de Sitter (esto incluye espacios como el propio espaciotiempo de Sitter, así como los espacios elípticos de Sitter), y a los cocientes (y coberturas) del espacio anti-de Sitter.

Si se quieren incluir las variedades riemannianas, la clasificación es la siguiente. Por el teorema 8.12.2, todas las variedades riemannianas homogéneas de dos puntos (equivalentes a homogéneas e isótropas) son isométricas a una de estas :

• Espacio euclidiano $\mathbb{R}^n = \mathrm{E}^n / \mathrm{O}(n)$
• El $n$ -esfera $S^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{SO}(n)$
• El espacio proyectivo real $\mathbb{R}\mathrm{P}^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{O}(n)$
• El espacio proyectivo complejo $\mathbb{C}\mathrm{P}^n = \mathrm{SU}(n + 1) / \mathrm{U}(n)$
• El espacio proyectivo cuaterniónico $\mathbb{H}\mathrm{P}^n = \mathrm{Sp}(n + 1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• El plano proyectivo de Cayley $\mathrm{CayP}^2 = \mathrm{F}_4 / \mathrm{Spin}(9)$
• El espacio hiperbólico real $\mathbb{H}^n(\mathbb{R}) = \mathrm{SO}(1, n-1) / \mathrm{SO}(n)$
• El espacio hiperbólico complejo $\mathbb{H}^n(\mathbb{C}) = \mathrm{SU}(1, n-1) / \mathrm{U}(n)$
• El espacio hiperbólico cuaterniónico $\mathbb{H}^n(\mathbb{H}) = \mathrm{Sp}(1, n-1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• El plano hiperbólico de Cayley $\mathbb{H}^n(\mathrm{Cay}) = \mathrm{F}^*_4 / \mathrm{Spin}(9)$

(un poco de colisión de notación : $\mathbb{H}^n$ es el $n$ -espacio hiperbólico de dimensiones, mientras que $\mathbb{H}$ es el campo de los cuaterniones)

Los casos de interés en la física (el $3$ -manifolds utilizados en la métrica FRW) son el espacio euclidiano, $3$ -Esfera, espacio hiperbólico y espacio proyectivo real (el espacio proyectivo real tiene la misma curvatura que la $3$ -esfera, pero una topología diferente). Esto se debe a que todas las variedades construidas a partir de grupos complejos son pares (como $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ ser $(2n + 2)$ -dimiento).