Escalar de Ricci en el campo escalar en el espacio-tiempo curvo

Question

Hace poco estuve mirando una lagrangiana de un campo escalar en el espacio-tiempo curvo en http://www.unc.edu/~mgood/research/Carroll_QFT_CS.pdf en la página 8. No soy físico, y actualmente estoy estudiando física introductoria en el instituto, pero por lo que sé, un lagrangiano es básicamente la energía cinética menos la energía potencial. En este lagrangiano, entiendo la parte cinética, pero no entiendo la parte potencial. ¿Se trata de $-1/2m^2\phi^2 -(1/6)R\phi^2$ o simplemente $-1/2m^2\phi^2$ ? ¿Puede un escalar de Ricci estar simplemente acoplado a un campo escalar como ese?

Además, como el escalar de Ricci es igual al tensor de curvatura de Ricci multiplicado por la inversa del tensor métrico, y utilizando algunas identidades, la ecuación de campo de Einstein puede reordenarse en $R(u,v)=k(T(u,v)-(1/2)Tg(u,v))$ - ¿cómo se relaciona exactamente el escalar de Ricci con el tensor de momento de energía, es decir, puede expresarse en términos del tensor de momento de energía, digamos la diagonal del tensor de momento de energía (multiplicando la densidad de energía, T00, por los términos de momento T11, T22, T33? Tenga en cuenta que no soy un experto en la materia, pero me gustaría saber más sobre el campo.

Answer 1

Sí, se puede considerar la expresión

$$-\frac12m^2\phi^2-\frac16R\phi^2$$

como energía potencial. Compárese con el oscilador armónico: su energía potencial viene dada por un término cuadrático en la posición. El escalar de Ricci puede interpretarse entonces como una simple contribución al cuadrado de la masa del escalar.

Para responder a tu pregunta de si esto es posible o no: cuando se construye una teoría de campos, siempre se intenta escribir un lagrangiano formado por términos que respeten las simetrías que uno exige a la teoría. El escalar de Ricci es invariante de coordenadas y simple, y como tal es una buena elección para un término en el Lagrangiano.

En cuanto a su última pregunta, considere las ecuaciones de Einstein:

$$R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu},$$

que relaciona el tensor de tensión-energía por componentes con el tensor de Ricci $R_{\mu\nu}$ la métrica $g_{\mu\nu}$ y el escalar de Ricci. Ahora se puede tomar la traza de ambos lados, en $d$ dimensiones dadas por

$$\frac{2-d}{2}R=8\pi T_{\mu\nu}g^{\mu\nu}.$$

En 4 dimensiones, esto se reduce a

$$-R=8\pi(T_{00}g^{00}+T_{11}g^{11}+T_{22}g^{22}+T_{33}g^{33}),$$

que podría ser la relación que está buscando.