Forma cerrada conjeturada para $\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Question

Estaba tratando de encontrar generalizaciones de forma cerrada de la siguiente suma secante hiperbólica bien conocida $$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n}=\frac{\left\{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^2}{2\pi^{3/2}},\tag{1}$$ como $$S(a)=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+a}.$$ En particular, encuentro por experimentación numérica $$\displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n}}\overset{?}=-\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{2+\sqrt{2}}\tag{2}$$ (Mathematica no fue capaz de encontrar una forma cerrada directamente, pero entonces decidí cambiar al cálculo de cocientes de las sumas, calculé los cocientes numéricamente y entonces pude reconocer este cociente particular como un aproximante de la raíz. Esto se verificó posteriormente con 1000 decimales).

He simplificado esta expresión de la edición anterior de la pregunta.

Lamentablemente, para otros valores de $a$ No pude encontrar una forma cerrada. Por supuesto $(2)$ junto con $(1)$ implicaría una forma cerrada para la suma $S(1/\sqrt{2})$

Cómo se puede demostrar $(2)$ ?

Answer 1

Dejemos que $$S_1(\alpha)=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi \alpha n+\frac{1}{\sqrt{2}}},$$ $$S_2(\alpha)=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi \alpha n-\frac{1}{\sqrt{2}}},$$ entonces debido a $2\cosh^2x-1=\cosh 2x$ se obtiene $$S_2(\alpha)-S_1(\alpha)=2\sqrt{2}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh 2\pi \alpha n},$$ $$S_2(\alpha)+S_1(\alpha)=4\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{\cosh\pi\alpha n}{\cosh 2\pi \alpha n}.$$ Ahora bien, si se definen integrales elípticas del primer tipo $K$ y $\Lambda$ según las ecuaciones $\frac{K'}{K}=\frac{K(k')}{K(k)}=\alpha$ , $\frac{\Lambda'}{\Lambda}=\frac{K(k_1')}{K(k_1)}=2\alpha$ , donde $k'=\sqrt{1-k^2},~k_1'=\sqrt{1-k_1^2}$ entonces las fórmulas bien conocidas de la teoría de las funciones elípticas (véase Whittaker y Watson, A Course of Modern Analysis) afirman que $$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh \pi \alpha n}=\frac{2K}{\pi},~\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh 2\pi \alpha n}=\frac{2\Lambda}{\pi},~\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{\cosh\pi\alpha n}{\cosh 2\pi \alpha n}=\frac{2\Lambda}{\pi}~\text{dn}(i\Lambda'/2,k_1),$$ $$k_1=\frac{1-k'}{1+k'},\quad \Lambda=\frac{1}{2}(1+k')K,\quad \text{dn}(i\Lambda'/2,k_1)=\sqrt{1+k_1}.$$ De esto por álgebra trivial se puede deducir que

$$S_1(K'/K)=\frac{K\sqrt{2}}{\pi}(1+k')\left(\frac{2}{\sqrt{1+k'}}-1\right).$$

Ahora para $k=1/2$ uno tiene $k'=1/2$ , $K=K'=K_0$ Por lo tanto $$\frac{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n}}=\frac{S_1(1)}{2K_0/\pi}=\frac{(1+k')}{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{\sqrt{1+k'}}-1\right)=\sqrt{2+\sqrt{2}}-\frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$

Answer 2

Aunque no te voy a dar ninguna solución, sin embargo voy a intentar escribir un intento.

Comenzaré con la observación: el valor $1/\sqrt{2}$ es bastante peculiar para $\arccos$ desde $\arccos\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}$ ...

Definir una función meromorfa $$f(z):=\frac{\cot\pi z}{\cosh \pi z + a}$$

Integrando esta función a lo largo del contorno rectangular se obtiene simplemente la relación :

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\cosh\pi n+a}=-2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\cosh\pi x-a}-\frac{2}{\sqrt{1-a^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\sinh(2\arccos(-a))}{\cosh 4\pi n-\cosh(2\arccos(-a))}$$

Para $a=1/\sqrt{2}$ la segunda suma es según Mathematica igual :

$$\frac{Q+2 \pi \coth \left(\frac{3 \pi }{4}\right)-3\pi}{2 \pi\sinh \left(\frac{3 \pi }{2}\right) }$$

donde $Q$ es una constante expresable en términos de la función Q-Gamma :

$$Q=\psi _{e^{4 \pi }}\left(\frac{3}{8}\right)-\psi _{e^{4 \pi }}\left(-\frac{3}{8}\right)$$

La integral ya fue calculada por el usuario @sirfoga, en nuestro caso para el primer término : $$-2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\cosh\pi x-a}=-\frac{4\arctan{\left(\frac{1+a}{\sqrt{1-a^2}}\right)}}{\pi\sqrt{1-a^2}}$$

Para el caso especial de $a=1/\sqrt 2$ es igual a $-3/\sqrt 2$ por lo que para la suma global

$$S=\frac{3}{\sqrt2}-2\sqrt2\coth\frac{3\pi}{4}-\frac{\sqrt2}{\pi}Q=0.75618790046404501626204025904167409716634\dots$$

La conexión con la conjetura del OP es a estas alturas apenas visible :/

Apéndice He hecho los números en Mathematica y parece que la conjetura se mantiene al menos para 100 000 dígitos

Answer 3

Descargo de responsabilidad: He comprobado por mí mismo que $\frac{\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n}} \approx 0.640652 \approx \sqrt{\sqrt{2}+2}-\frac{1}{2} \left(\sqrt{2}+1\right)$ así que la mía es sólo una aproximación pero por lo que he podido hacer, no existe ninguna forma cerrada para evaluar precisamente tu suma: además, si tu objetivo es hacer evaluaciones computacionales, te sugiero que simplifiques la suma, evalúes la integral que te proporciono o evalúes la suma desde $n = -10^3$ a $n = 10^3$ : No he visto ninguna diferencia masiva con $n = -10^6$ a $n = 10^6$ o más.

$$\begin{align} \sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+\frac{1}{\sqrt{2}}} &\approx \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi x+\frac{1}{\sqrt{2}}} dx\\ &= -\frac{2 \sqrt{2} \arctan\left(\frac{(\sqrt{2}-2) \tanh \left(\frac{\pi n}{2}\right)}{\sqrt{2}}\right)}{\pi } \big|_{-\infty}^{+\infty}\\ &= \sqrt{2} \end{align}$$ y más en general $$\begin{align} \sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+a} &\approx \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi x+a} dx\\ &= -\frac{2 \arctan\left(\frac{(a-1) \tanh \left(\frac{\pi n}{2}\right)}{\sqrt{1-a^2}}\right)}{\pi \sqrt{1-a^2}} \big|_{-\infty}^{+\infty}\\ &= \left( -\frac{2 \arctan\left(\frac{a-1}{\sqrt{1-a^2}}\right)}{\pi \sqrt{1-a^2}} \right) - \left(\frac{2 \arctan\left(\frac{a-1}{\sqrt{1-a^2}}\right)}{\pi \sqrt{1-a^2}} \right)\\ &= -2 \left(\frac{2 \arctan\left(\frac{a-1}{\sqrt{1-a^2}}\right)}{\pi \sqrt{1-a^2}} \right) \end{align}$$ así que en su caso concreto $$\begin{align} \frac{\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n+\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi n}} &\approx \frac{\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi x+\frac{1}{\sqrt{2}}} dx}{\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh\pi x} dx}\\ &= \frac{-2 \left(\frac{2 \arctan\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}^2}}}\right)}{\pi \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}^2}}} \right)}{-2 \left(\frac{2 \arctan\left(\frac{0-1}{\sqrt{1-0^2}}\right)}{\pi \sqrt{1-0^2}} \right)}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\ &\approx 0.707107 \end{align}$$