$3^n$ como suma de potencias de $2$

Question

¿Existe una forma cerrada para expresar $3^n$ como una suma de potencias de $2$ ? Me interesa el caso en el que todos los exponentes de $2$ son únicas.

$$3^0 = 2^0$$ $$3^1 = 2^0 + 2^1$$ $$3^2 = 2^0 + 2^3$$ $$3^n = ?$$

Answer 1

Supongamos que $3^n = F(n)$ , donde $F(n)$ es una suma de potencias de $2$ . Entonces $$3^{n+1} = 3F(n),$$ de la que obtenemos la fórmula recursiva $F(n+1) = F(n) + 2F(n)$ . Multiplicando por $2$ aumenta todos los exponentes en $1$ . ¿Puedes seguir a partir de ahí?