Para cualquier función $f$ siempre se podría definir un operador $\circ$ para que $f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)$ ?

Question

Dada cualquier función $f$ Estoy interesado en saber si siempre se puede definir un operador $\circ$ (es decir, una función de dos lugares) tal que $$f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)$$ .

Ahora, si existe algún elemento $c$ en el ámbito de $f$ tal que $f(c)=c$ entonces se podría establecer $a\circ b=c$ para todos $a, b$ . Sin embargo, esto es bastante trivial. Me preguntaba si un operador de este tipo podría definirse siempre de alguna manera no trivial.

Answer 1

Bueno, no sé lo que consideras "trivial", pero esa operación binaria siempre existe: siempre puedes usar la operación binaria $x\circ y=x$ . Entonces $f(a\circ b)=f(a)=f(a)\circ f(b)$ . De la misma manera, $x\circ y=y$ también funcionaría.

Obsérvese, además, que dada cualquier operación binaria de este tipo $\circ$ Otra operación binaria de este tipo es $x*y=f(x\circ y)$ ya que $f(a*b)=f(f(a\circ b))=f(f(a)\circ f(b))=f(a)*f(b)$ .

En general, no puede haber más ejemplos que estos (es decir, todos los ejemplos provienen de $x\circ y=x$ o $x\circ y=y$ componiendo con $f$ cierto número de veces). Esto es cierto de forma bastante vacía si $f:X\to X$ donde $X$ tiene como máximo un elemento. De forma menos vacía, si $f:\{0,1\}\to\{0,1\}$ viene dada por $f(0)=1$ , $f(1)=0$ En el caso de las operaciones binarias, algunos casos sencillos muestran que las únicas operaciones binarias que funcionan son $x\circ y=x$ , $x\circ y=f(x)$ , $x\circ y=y$ y $x\circ y=f(y)$ . (Esquema de la prueba: componer con $f$ si es necesario, podemos asumir $0\circ 0=0$ , lo que implica entonces $1\circ 1=1$ . Entonces, por simetría, podemos suponer $0\circ 1=0$ , lo que implica $1\circ 0=1$ y así tenemos $x\circ y=x$ .)