Dividir $(x+1)^2$ por $x-1$ sin utilizar la división larga.

Question

Dividir un polinomio de grado $n$ con un polinomio de grado $n-1$ da un polinomio de grado $1$ . Así que,

$$\frac{(x+1)^2}{x-1}=ax+b\Leftrightarrow x^2+2x+1=ax^2+(b-a)x-b$$

Da $a=1, \quad a-b=2, \quad -b=1$ . Así que $a=1$ y $b=-1.$ El resultado que obtengo es que $$\frac{(x+1)^2}{x-1}=x-1.$$ Lo cual dista mucho de ser la respuesta correcta. No puedo detectar mi error. Siento que cuanto más me siento y estudio, peor me vuelvo en matemáticas.

Answer 1

$$(x+1)^2=x^2+2x+1=x^2-x+3x -3+4=(x-1)(\underbrace{x+3}_\text{quotient})+\underset{\strut{\rlap{\text{remainder}}\qquad}}{4}$$